Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Неравенства для площадей» - сложность 1-3 с решениями
параграф 6. Неравенства для площадей
НазадКвадрат разрезан на прямоугольники.
Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.
а) Точки <i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>делят (меньшую) дугу <i>AE</i>окружности на четыре равные части. Докажите, что <i>S</i><sub>ACE</sub>< 8<i>S</i><sub>BCD</sub>. б) Из точки <i>A</i>проведены касательные <i>AB</i>и <i>AC</i>к окружности. Через середину <i>D</i>(меньшей) дуги <i>BC</i>проведена касательная, пересекающая отрезки <i>AB</i>и <i>AC</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Докажите, что <i>S</i><sub>BCD</sub>< 2<i>S</i><sub>MAN</sub>.
Площади треугольников <i>ABC</i>и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>равны <i>S</i>и <i>S</i><sub>1</sub>, причем треугольник <i>ABC</i>не тупоугольный. Наибольшее из отношений <i>a</i><sub>1</sub>/<i>a</i>,<i>b</i><sub>1</sub>/<i>b</i>и <i>c</i><sub>1</sub>/<i>c</i>равно <i>k</i>. Докажите, что <i>S</i><sub>1</sub>$\leq$<i>k</i><sup>2</sup><i>S</i>.
Через точку, лежащую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные его сторонам. Обозначим площади частей, на которые эти прямые разбивают треугольник, так, как показано на рис. Докажите, что <i>a</i>/$\alpha$+<i>b</i>/$\beta$+<i>c</i>/$\gamma$$\geq$3/2.
<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57344/problem_57344_img_6.gif" border="1"></div>
<i>ABCD</i> — выпуклый четырехугольник площади <i>S</i>. Угол между прямыми <i>AB</i>и <i>CD</i>равен <i>a</i>, угол между <i>AD</i>и <i>BC</i>равен $\beta$. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>AB</i><sup> . </sup><i>CD</i> sin$\displaystyle \alpha$ + <i>AD</i><sup> . </sup><i>BC</i> sin$\displaystyle \beta$ $\displaystyle \leq$ 2<i>S</i> $\displaystyle \leq$ <i>AB</i><sup> . </sup><i>CD</i> + <i>AD</i><sup> . </sup><i>BC</i>. </div>
Площади треугольников<i>ABC</i>,<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>2</sub>равны <i>S</i>,<i>S</i><sub>1</sub>,<i>S</i><sub>2</sub>соответственно, причем <i>AB</i>=<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>+<i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub>,<i>AC</i>=<i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>+<i>A</i><sub>2</sub&...
Точки <i>M</i>и <i>N</i>лежат на сторонах <i>AB</i>и <i>AC</i>треугольника <i>ABC</i>, причем <i>AM</i>=<i>CN</i>и <i>AN</i>=<i>BM</i>. Докажите, что площадь четырехугольника <i>BMNC</i>по крайней мере в три раза больше площади треугольника <i>AMN</i>.