Олимпиадные задачи из источника «выпуск 3» для 11 класса - сложность 2-5 с решениями

а) Сумма длин рёбер любого выпуклого многогранника больше утроенного диаметра. Докажите это.<span class="prim">(Диаметром многогранника называют наибольшую из длин всевозможных отрезков с концами в вершинах многогранника.)</span>б) Для любых двух <nobr>вершин <i>A</i></nobr> <nobr>и <i>B</i></nobr> любого выпуклого многогранника существуют три ломаные, каждая из которых идёт по рёбрам многогранника <nobr>из <i>А</i></nobr> <nobr>в <i>В</i></nobr> и никакие две не проходят по одному ребру. Докажите это. в) Если в выпуклом многограннике разрезать два ребра, то для любых двух его <nobr>вершин <i>А</i></nobr> <nobr>и <i>В</i></nobr&g...

Многочлен <i>p</i> и число <i>a</i> таковы, что для любого числа <i>x</i> верно равенство  <i>p</i>(<i>x</i>) = <i>p</i>(<i>a – x</i>).

Докажите, что <i>p</i>(<i>x</i>) можно представить в виде многочлена от  (<i>x</i> – ^<i>a</i>/₂)².