Олимпиадные задачи из источника «выпуск 8»

Сумма тангенсов углов величиной 1°, 5°, 9°, 13°, ..., 173°, 177°<nobr>равна 45.</nobr>Докажите это.

  а) Докажите, что в таблице <div align="center"><img src="/storage/problem-media/73633/problem_73633_img_2.gif"></div>где каждое число равно сумме трёх стоящих над ним чисел, в каждой строке (начиная с третьей) есть чётное число.   б) В каждой ли строке (кроме первых двух) встречается число, кратное 3?

В трапеции<i>ABCD</i>с основаниями<nobr><i>AB</i> = <i>a</i></nobr>и<nobr><i>CD</i> = <i>b</i></nobr>проведён отрезок<i>A</i>₁<i>B</i>₁, соединяющий середины диагоналей.<nobr>В полученной</nobr>трапеции проведён отрезок<i>A</i>₂<i>B</i>₂, тоже соединяющий середины диагоналей, и так далее. Может ли в последовательности длин отрезков<i>AB</i>,<i>A</i>₁<i>B</i>₁,<i>A</i>₂<i>B</i>₂,... какое-то число встретиться...

Про пять положительных чисел известно, что если из суммы любых трёх из них вычесть сумму двух оставшихся, то разность будет положительной. Докажите, что произведение всех десяти таких разностей не превосходит квадрата произведения данных пяти чисел.