Олимпиадные задачи из источника «выпуск 9»
выпуск 9
Назада) Доказать, что сумма цифр числа <i>K</i> не более чем в 8 раз превосходит сумму цифр числа 8<i>K</i>.
б) Для каких натуральных <i>k</i> существует такое положительное число <i>c<sub>k</sub></i>, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78791/problem_78791_img_2.gif"> ≥ <i>c<sub>k</sub></i> для всех натуральных <i>N</i>? Найдите наибольшее подходящее значение <i>c<sub>k</sub></i>.
В колбе находится колония из<i>n</i>бактерий. В какой-то момент внутрь колбы попадает вирус. В первую минуту вирус уничтожает одну бактерию, и сразу же после этого и вирус, и оставшиеся бактерии делятся пополам. Во вторую минуту новые два вируса уничтожают две бактерии, а затем и вирусы, и оставшиеся бактерии снова делятся пополам, и т.д. Наступит ли такой момент времени, когда не останется ни одной бактерии?
Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений
<i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>xy = a</i>,
<i>x</i>² – <i>y</i>² = <i>b</i>,
где <i>а</i> и <i>b</i> – некоторые данные действительные числа.
Множество, состоящее из конечного числа точек плоскости, обладает следующим свойством: для любых двух его точек<i>A</i><nobr>и <i>B</i></nobr>существует такая<nobr>точка <i>С</i></nobr>этого множества, что треугольник<i>ABC</i>равносторонний. Сколько точек может содержать такое множество?