Олимпиадные задачи из источника «выпуск 4» для 2-8 класса - сложность 2-5 с решениями
выпуск 4
НазадГеологи взяли в экспедицию 80 банок консервов, веса которых все известны и различны (имеется список). Через некоторое время надписи на консервах стали нечитаемыми, и только завхоз знает, где что. Он может это всем доказать (то есть обосновать, что в какой банке находится), не вскрывая консервов и пользуясь только сохранившимся списком и двухчашечными весами со стрелкой, показывающей разницу весов.
Докажите, что для этой цели ему
а) достаточно четырёх взвешиваний и
б) недостаточно трёх.
а) Существуют ли такие натуральные числа <i>a, b, c</i>, что из двух чисел <sup><i>a</i></sup>/<i><sub>b</sub> + <sup>b</sup></i>/<i><sub>c</sub> + <sup>c</sup></i>/<sub><i>a</i></sub> и <sup><i>b</i></sup>/<i><sub>a</sub> + <sup>c</sup></i>/<i><sub>b</sub> + <sup>a</sup></i>/<sub><i>c</i></sub> ровно одно – целое? б) Докажите, что если они оба целые, то <i>a = b = c</i>.
Прямая отрезает от правильного <i>n</i>-угольника со стороной 1 треугольник <i>APQ</i> так, что <i>AP + AQ</i> = 1 (<i>A</i> – вершина <i>n</i>-угольника).
Найдите сумму углов, под которыми отрезок <i>PQ</i> виден из всех вершин <i>n</i>-угольника, кроме <i>A</i>.