Олимпиадные задачи из источника «выпуск 5» для 11 класса - сложность 4 с решениями
выпуск 5
НазадДан выпуклый многоугольник, никакие две стороны которого не параллельны. Для каждой из его сторон рассмотрим угол, под которым она видна из вершины, наиболее удалённой от прямой, содержащей эту сторону. Докажите, что сумма всех таких углов равна 180°.
Докажите, что если числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>m</sub></i> отличны от нуля и для любого целого <i>k</i> = 0, 1, ..., <i>n</i> (<i>n < m</i> – 1) выполняется равенство:
<i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub>·2<sup><i>k</i></sup> + <i>a</i><sub>3</sub>·3<sup><i>k</i></sup> + ... + <i>a<sub>m</sub>m<sup>k</sup></i> = 0, то в последовательности <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>m</sub></i> ...
Существует ли такое конечное множество <i>M</i> ненулевых действительных чисел, что для любого натурального <i>n</i> найдется многочлен степени не меньше <i>n</i> с коэффициентами из множества <i>M</i>, все корни которого действительны и также принадлежат <i>M</i>?