Олимпиадные задачи из источника «1997 год» для 10-11 класса - сложность 4-5 с решениями
На плоскости дано конечное число полос, сумма ширин которых равна 100, и круг радиуса 1.
Докажите, что каждую из полос можно параллельно перенести так, чтобы все они вместе покрыли круг.
Контуры выпуклых многоугольников <i>F</i> и <i>G</i> не имеют общих точек, причём <i>G</i> расположен внутри <i>F</i>. Хорду многоугольника <i>F</i> – отрезок, соединяющий две точки контура <i>F</i>, назовём опорной для <i>G</i>, если она пересекается с <i>G</i> только по точкам контура: содержит либо только вершину, либо сторону <i>G</i>.
а) Докажите, что найдётся опорная хорда, середина которой принадлежит контуру <i>G</i>.
б) Докажите, что найдутся две такие хорды.
а) Четыре порта 1, 2, 3, 4 расположены (в этом порядке) на окружности круглого острова. Их связывает плоская сеть дорог, на которых могут быть перекрёстки, то есть точки, где пересекаются, сходятся или разветвляются дороги. На всех участках дорог введено одностороннее движение так, что, выехав от любого порта или перекрёстка, нельзя вернуться в него снова. Пусть <i>f<sub>ij</sub></i> означает число различных путей, идущих из порта <i>i</i> в порт <i>j</i>. Докажите неравенство <i>f</i><sub>14</sub><i>f</i><sub>23</sub> ≥ <i>f</i><sub>13</sub><i>f</i><sub>24</sub>.
б) Докажите, что если портов шесть: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (по кругу в этом поря...
Докажите, что не существует никакой (даже разрывной) функции <i>y = f</i>(<i>x</i>), для которой <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = <i>x</i>² – 1996 при всех <i>x</i>.