Олимпиадные задачи из источника «Занятие 5.» для 8-10 класса

Бронзовые монеты в 1, 2, 3 и 5 коп. весят соответственно 1, 2, 3 и 5 г. Среди четырех бронзовых монет (по одной из каждого номинала) одна фальшивая — отличается от настоящих по весу. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?

Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета на расстоянии 2004 м.

Давным-давно девять одинаковых книг стоили 11 рублей с копейками, а тринадцать таких книг стоили 15 рублей с копейками.

Сколько стоила одна книга?

Решить уравнение  <i>x</i>⁸ + 4<i>x</i>⁴ + <i>x</i>² + 1 = 0.

Кащей Бессмертный загадывает три натуральных числа:<var>a</var>,<var>b</var>,<var>c</var>. Иван Царевич должен назвать ему три числа:<var>X</var>, <var>Y</var>, <var>Z</var>, после чего Кащей сообщает ему сумму<var>aX</var> + <var>bY</var> + <var>cZ</var>, затем Иван Царевич говорит еще один набор чисел<var>x</var>, <var>y</var>, <var>z</var>и Кащей сообщает ему сумму<var>ax</var> + <var>by</var> + <var>cz</var>. Царевич должен отгадать задуманные числа, иначе ему отрубят голову. Какие числа он должен загадать, чтобы остаться в живых?