Олимпиадные задачи из источника «7 класс» для 8-9 класса - сложность 1-4 с решениями

а) Аборигены поймали Кука и просят за его выкуп ровно 455 рупий 50 монетами. Смогут ли соратники Кука выкупить его на таких условиях, если в тех краях имеют хождение только монеты в 5, 17 и 31 рупии?

б) А если бы аборигены хотели получить сумму в 910 рупий 50 монетами по 10, 34 и 62 рупии?

На третье занятие кружка по математике пришло 17 человек. Может ли случиться так, что каждая девочка знакома ровно с тремя из присутствующих на занятии кружковцев, а каждый мальчик ровно с пятью?

По кругу расставлены 15 натуральных чисел. Докажите, что найдутся два соседних числа такие, что после их выкидывания оставшиеся числа нельзя разбить на две группы с равной суммой.

После проверки диктанта выяснилось, что учеников, которые ошиблись при написании слова «интеллект» в точности столько же, сколько написавших это слово правильно. Могло ли за этот диктант пятерок быть поставлено ровно на 15 меньше, чем остальных оценок?

Петя сложил несколько чисел, среди которых было <i>N</i> чётных и <i>M</i> нечётных. Вы можете спросить у Пети про одно из чисел <i>N</i> или <i>M</i>, на ваш выбор, чётное ли оно. Достаточно ли этого, чтобы узнать, чётной или нечётной будет полученная Петей сумма?

Сможете ли вы найти шесть целых чисел, сумма и произведение которых являются нечётными числами? А двести?

В классе все увлекаются математикой или биологией. Сколько человек в классе, если математикой занимаются 15 человек, биологией – 20, а математикой и биологией – 10?

Имеется n целых чисел. Доказать, что среди них найдется несколько, или быть может одно, сумма которых делится на n.

Игорь закрасил в квадрате 6×6 несколько клеток. После этого оказалось, что во всех квадратиках 2×2 одинаковое число закрашенных клеток и во всех полосках 1×3 одинаковое число закрашенных клеток. Докажите, что старательный Игорь закрасил все клетки.

Отметьте на плоскости 6 точек так, чтобы от каждой на расстоянии 1 находилось ровно три точки.

На шахматной доске 8×8 расставлено наибольшее возможное число слонов так, что никакие два слона не угрожают друг другу.

Доказать, что число всех таких расстановок есть точный квадрат.

Сколько квадратов со сторонами по линиям сетки можно нарисовать на доске 8×8?

Докажите, что число способов расставить на шахматной доске максимальное число ферзей чётно.

Какое максимальное число ферзей, не бьющих друг друга, можно расставить на шахматной доске 8×8?

Какое максимальное число королей, не бьющих друг друга, можно расставить на шахматной доске 8×8?

Сколькими способами можно расставить чёрную и белую ладьи на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

В центре круглого бассейна плавает ученик. Внезапно к бассейну подошёл учитель. Учитель не умеет плавать, но бегает в 4 раза быстрее, чем ученик плавает. Ученик бегает быстрее. Сможет ли он убежать?

Расшифровать пример на умножение, если буквой Ч зашифрованы чётные числа, а буквой Н – нечётные. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/102865/problem_102865_img_2.gif"></div>

Какие буквы соответствуют цифрам частного? Восстановите все цифры, если с = 7. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/102864/problem_102864_img_2.gif"></div>

Восстановите пример на умножение <div align="center"><img src="/storage/problem-media/102863/problem_102863_img_2.gif"></div>

<b>Умножение чисел.</b>Восстановите пример на умножение натуральных чисел, если известно, что сумма цифр у обоих сомножителей одинакова. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/102862/problem_102862_img_2.gif"></div>

Можно ли в прямоугольник 5×6 поместить прямоугольник 3×8?

Может ли быть верным равенство  К×О×Т = У×Ч×Е×Н×Ы×Й,  если вместо букв в него подставить цифры от 1 до 9 (разным буквам соответствуют разные цифры)?

Подсчитать сумму цифр числа (999..99)³(в скобке 2002 девятки).

Найти сумму 1 + 2002 + 2002²+ ... + 2002^<i>n</i>.