Олимпиадные задачи из источника «8 класс»

Найти натуральное наименьшее целое число n такое, что n делится на 19, а n+2 делится на 82.

Дано трёхзначное число, у которого первая и последняя цифра одинаковые.

Доказать, что число делится на 7 тогда и только тогда, когда делится на 7 сумма второй и третьей цифр.

Доказать, что число  <i>n</i>⁵ – 5<i>n</i>³ + 4<i>n</i>  делится на 120 при любом натуральном <i>n</i>.

Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

Имеется n целых чисел. Доказать, что среди них найдется несколько, или быть может одно, сумма которых делится на n.

Доказать, что среди любых одиннадцати целых чисел найдутся два, разность между которыми делится на 10.

10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причем известно, что среди них есть школьники, решившие ровно одну задачу, школьники, решившие ровно две задачи и школьники, решившие ровно три задачи. Докажите, что есть школьник, решивший не менее пяти задач.

Можно ли в таблице 6×6 расставить числа 0, 1 и -1 так, чтобы все суммы по вертикалям, горизонталям и двум диагоналям были различны?

Доказать, что если 21 человек собрали 200 орехов, то есть два человека, собравшие поровну орехов.

В таблицу 8×8 вписаны все целые числа от 1 до 64. Доказать, что при этом найдутся два соседних числа, разность между которыми не меньше 5. (Соседними называются числа, стоящие в клетках, имеющих общую сторону.)

Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 и 14.

Докажите, что  <i>n</i>³ + 2<i>n</i>  делится на 3 для любого натурального <i>n</i>.

Целые числа <i>a</i> и <i>b</i> таковы, что  56<i>a</i> = 65<i>b</i>.  Докажите, что &nbsp <i>a + b</i>  – составное число.

Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом?

Пусть <i>p</i> и <i>q</i> – различные простые числа. Сколько делителей у числа

  а)  <i>pq</i>;

  б)  <i>p</i>²<i>q</i>;

  в)  <i>p</i>²<i>q</i>²;

  г)  <i>p^mqⁿ</i>?