Олимпиадные задачи из источника «8 класс» - сложность 2 с решениями

Найти натуральное наименьшее целое число n такое, что n делится на 19, а n+2 делится на 82.

Дано трёхзначное число, у которого первая и последняя цифра одинаковые.

Доказать, что число делится на 7 тогда и только тогда, когда делится на 7 сумма второй и третьей цифр.

Доказать, что число  <i>n</i>⁵ – 5<i>n</i>³ + 4<i>n</i>  делится на 120 при любом натуральном <i>n</i>.

Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

Имеется n целых чисел. Доказать, что среди них найдется несколько, или быть может одно, сумма которых делится на n.

В таблицу 8×8 вписаны все целые числа от 1 до 64. Доказать, что при этом найдутся два соседних числа, разность между которыми не меньше 5. (Соседними называются числа, стоящие в клетках, имеющих общую сторону.)

Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 и 14.

Целые числа <i>a</i> и <i>b</i> таковы, что  56<i>a</i> = 65<i>b</i>.  Докажите, что &nbsp <i>a + b</i>  – составное число.

Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом?