Олимпиадные задачи из источника «6. На шахматной доске» - сложность 2-5 с решениями

Докажите, что в игре в "крестики-нолики" на поле 3*3 при правильной игре первого игрока второй игрок выиграть не сможет.

В нижнем левом углу шахматной доски 8 на 8 стоит фишка. Двое по очереди передвигают её на одну клетку вверх, вправо или вправо-вверх по диагонали.  Выигрывает тот, кто поставит фишку в правый верхний угол. Кто победит при правильной игре?

а) Из обычной шахматной доски 8 на 8 вырезали клетки с5 и g2. Можно ли то, что осталось, замостить доминошками 1 на 2?   б) Тот же вопрос, если вырезали клетки с6 и g2.

а) Какое максимальное количество слонов можно расставить на доске 1000 на 1000 так, чтобы они не били друг друга?

б) Какое максимальное количество коней можно расставить на доске 8×8 так, чтобы они не били друг друга?

На каждой клетке шахматной доски стоит шашка, с одной стороны белая, с другой черная. За один ход можно выбрать любую шашку и перевернуть все шашки, стоящие с выбранной на одной вертикали, и все шашки, стоящие с ней на одной горизонтали.

  а) Придумайте, как перевернуть ровно одну шашку на доске 6×6, произвольно уставленной шашками.

  б) Можно ли добиться того, чтобы все шашки на доске 5×6 стали белыми, если чёрными изначально была ровно половина шашек.