Олимпиадные задачи из источника «Белорусские республиканские математические олимпиады» для 4-8 класса - сложность 3-4 с решениями

Найти наименьшее натуральное число <i>A</i>, удовлетворяющее следующим условиям:

  а) его запись оканчивается цифрой 6;

  б) при перестановке цифры 6 из конца числа в его начало оно увеличивается в четыре раза.

Доказать, что если стороны квадрата и равновеликого ему прямоугольника выражены целыми числами, то отношение их периметров выражено не целым числом.

36 т груза упаковано в мешки вместимостью не более 1 т. Доказать, что четырёхтонный грузовой автомобиль за 11 поездок может перевезти этот груз.

Все целые числа произвольным образом разбиты на две группы. Доказать, что хотя бы в одной из групп найдутся три числа, одно из которых есть среднее арифметическое двух других.

Найти целые решения уравнения  <i>x</i>²<i>y</i> = 10000<i>x + y</i>.

Дан ряд чисел<i> 1,1,2,3,5,8,13,21,34,..., </i>каждое из которых, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Доказать, что каждое натуральное число<i> n>2 </i>равно сумме нескольких различных чисел указанного ряда.

<i>x</i>₁ – вещественный корень уравнения  <i>x</i>² + <i>ax + b</i> = 0,  <i>x</i>₂ – вещественный корень уравнения  <i>x</i>² – <i>ax – b</i> = 0.

Доказать, что уравнение  <i>x</i>² + 2<i>ax</i> + 2<i>b</i> = 0  имеет вещественный корень, заключённый между <i>x</i>₁ и <i>x</i>₂.  (<i>a</i> и <i>b</i> – вещественные числа).

Доказать, что если у шестиугольника противоположные стороны параллельны и диагонали, соединяющие противоположные вершины, равны, то вокруг него можно описать окружность.

Решить систему уравнений     1 − <i>x</i>₁<i>x</i>₂<i>x</i>₃ = 0,

    1 + <i>x</i>₂<i>x</i>₃<i>x</i>₄ = 0,

    1 − <i>x</i>₃<i>x</i>₄<i>x</i>₅ = 0,

    1 + <i>x</i>₄<i>x</i>₅<i>x</i>₆ = 0,

      ...

    1 − <i>x</i>₄₇<i>x</i>₄₈<i>x</i>₄₉ = 0,

    1 + <i&...

<i> MA </i>и<i> MB </i>– касательные к окружности<i> O,; C </i>– точка внутри окружности, лежащая на дуге<i> AB </i>с центром в точке<i> M </i>. Доказать, что отличные от<i> A </i>и<i> B </i>точки пересечения прямых<i> AC </i>и<i> BC </i>с окружностью<i> O </i>лежат на противоположных концах одного диаметра.

Даны три точки<i> A,B,C </i>. Где на прямой<i> AC </i>нужно выбрать точку<i> M </i>, чтобы сумма радиусов окружностей, описанных около треугольников<i> ABM </i>и<i> CBM </i>, была наименьшей?

<i> k </i>точек на плоскости расположены так, что любой треугольник с вершинами в этих точках имеет площадь не больше 1. Доказать, что все эти точки можно поместить в треугольник площади 4.

Построить прямоугольный треугольник по радиусам вписанной и вневписанной (в прямой угол) окружностей.

Диагонали четырёхугольника равны по<i> a </i>, а сумма его средних линий<i> b </i>(средние линии соединяют середины противоположных сторон). Вычислить площадь четырёхугольника.

На плоскости даны точки<i> A </i>и<i> B </i>. Доказать, что множество всех точек<i> M </i>, удалённых от<i> A </i>в 3 раза больше, чем от<i> B </i>, есть окружность.

Показать, что если  <i>a > b</i> > 0,  то разность между средним арифметическим и средним геометрическим этих чисел находится между   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109015/problem_109015_img_2.gif">   и   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109015/problem_109015_img_3.gif">

Провести хорду данной окружности, параллельную данному диаметру, так, чтобы эта хорда и диаметр были основаниями трапеций с наибольшим периметром.

Найти решение системы

  <i>x</i>⁴ + <i>y</i>⁴ = 17,

  <i>x + y</i> = 3.

Две окружности<i> O </i>и<i> O₁ </i>пересекаются в точке<i> A </i>. Провести через точку<i> A </i>такую прямую, чтобы отрезок<i> BC </i>, высекаемый на ней окружностями<i> O </i>и<i> O₁ </i>, был равен данному.

Может ли число  1·2 + 2·3 + ... + <i>k</i>(<i>k</i> + 1)  при  <i>k</i> = 6<i>p</i> – 1  быть квадратом?

Построить треугольник по двум сторонам так, чтобы медианы этих сторон были взаимно перпендикулярны.

На катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника построены квадраты, расположенные вне треугольника. Вычислить площадь шестиугольника, вершины которого совпадают с теми вершинами квадратов, которые не принадлежат данному треугольнику. Длина гипотенузы<i> c </i>и сумма длин катетов<i> s </i>известны.

На плоскости задано<i> n </i>точек. Известно, что среди любых трёх из них имеются две, расстояние между которыми не больше 1. Доказать, что на плоскость можно наложить два круга радиуса 1, которые закроют все эти точки.

На окружности даны три точки<i> A,B,C </i>. Построить (циркулем и линейкой) на этой окружности четвёртую точку<i> D </i>так, чтобы в полученный четырёхугольник можно было бы вписать окружность.

Доказать, что если <center><i>

(x(y+z-x))/ x=(y(z+x-y))/ y=(z(x+y-z))/ z,

</i></center> то<i> x^yy^x=z^yy^z=x^zz^x </i>.