Олимпиадные задачи из источника «1952 год» для 2-10 класса - сложность 3-5 с решениями
Докажите, что ни при каком целом <i>A</i> многочлен 3<i>x</i><sup>2<i>n</i></sup> + <i>Ax</i><sup><i>n</i></sup> + 2 не делится на многочлен 2<i>x</i><sup>2<i>m</i></sup> + <i>Ax</i><sup><i>m</i></sup> + 3.
В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> ∠<i>ABC</i> = 20°. На равных сторонах <i>CB</i> и <i>AB</i> взяты соответственно точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что ∠<i>PAC</i> = 50° и ∠<i>QCA</i> = 60°.
Докажите, что ∠<i>PQC</i> = 30°.
Поместить в полый куб с ребром<i>a</i>три цилиндра диаметра${\frac{a}{2}}$и высоты<i>a</i>так, чтобы они не могли менять своего положения внутри куба.
99 прямых разбивают плоскость на<i>n</i>частей. Найдите все возможные значения<i>n</i>, меньшие 199.
Из точки <i>C</i> проведены касательные <i>CA</i> и <i>CB</i> к окружности <i>O</i>. Из произвольной точки <i>N</i> окружности опущены перпендикуляры <i>ND, NE, NF</i> соответственно на прямые <i>A, CA</i> и <i>CB</i>. Докажите, что <i>ND</i> есть среднее геометрическое чисел <i>NE</i> и <i>NF</i>.
Дана последовательность целых чисел, построенная следующим образом:<i>a</i><sub>1</sub>— произвольное трёхзначное число,<i>a</i><sub>2</sub>— сумма квадратов его цифр,<i>a</i><sub>3</sub>— сумма квадратов цифр числа<i>a</i><sub>2</sub>и т.д. Докажите, что в последовательности<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>,<i>a</i><sub>3</sub>, ...обязательно встретится либо 1, либо 4.
$\Delta$<i>ABC</i>разбит прямой<i>BD</i>на два треугольника. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в$\Delta$<i>ABD</i>и$\Delta$<i>DBC</i>, больше радиуса окружности, вписанной в$\Delta$<i>ABC</i>.
Два человека <i>A</i> и <i>B</i> должны попасть как можно скорее из пункта <i>M</i> в пункт <i>N</i>, расположенный в 15 км от <i>M</i>. Пешком они могут передвигаться со скоростью 6 км/ч. Кроме того, в их распоряжении есть велосипед, на котором можно ехать со скоростью 15 км/ч. <i>A</i> отправляется в путь пешком, а <i>B</i> едет на велосипеде до встречи с пешеходом <i>C</i>, идущим из <i>N</i> и <i>M</i>. Дальше <i>B</i> идёт пешком, а <i>C</i> едет на велосипеде до встречи с <i>A</i> и передаёт ему велосипед, на котором тот и приезжает в <i>N</i>. Когда должен выйти из <i>N</i> пешеход <i>C</i>, чт...