Олимпиадные задачи из источника «1953 год» для 2-8 класса - сложность 2-3 с решениями
На бесконечной шахматной доске стоит конь. Найти все клетки, куда он может попасть за 2<i>n</i> ходов.
<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>и<i>d</i>— длины последовательных сторон четырёхугольника. Обозначим через<i>S</i>его площадь. Доказать, что<div align="CENTER"> <i>S</i>$\displaystyle \le$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(<i>a</i> + <i>b</i>)(<i>c</i> + <i>d</i> ). </div>
Тысяча точек является вершинами выпуклого тысячеугольника, внутри которого расположено ещё пятьсот точек так, что никакие три из пятисот не лежат на одной прямой. Данный тысячеугольник разрезан на треугольники таким образом, что все указанные 1500 точек являются вершинами треугольников и эти треугольники не имеют никаких других вершин. Сколько получится треугольников при таком разрезании?
В плоскости расположено 11 шестерёнок таким образом, что первая сцеплена со второй, вторая – с третьей, ..., одиннадцатая – с первой.
Могут ли они вращаться?
Доказать, что наибольший общий делитель суммы двух чисел и их наименьшего общего кратного равен наибольшему общему делителю самих чисел.
<i>A</i> – вершина правильного звёздчатого пятиугольника. Ломаная <i>AA'BB'CC'DD'EE'</i> является его внешним контуром. Прямые <i>AB</i> и <i>DE</i> продолжены до пересечения в точке <i>F</i>. Докажите, что многоугольник <i>ABB'CC'DED'</i> равновелик четырёхугольнику <i>AD'EF</i>.
Доказать неравенство<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{2-\overbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}^{n{\rm раз}}}{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{n-1{\rm раз}}}}$ > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$. </div>
Разделить отрезок пополам с помощью угольника. (С помощью угольника можно проводить прямые и восстанавливать перпендикуляры, опускать перпендикуляры нельзя.)
Каково минимальное целое число вида 111...11, делящееся на 333...33 (100 троек)?