Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 2 тур» - сложность 3 с решениями
8 класс, 2 тур
НазадДаны четыре прямые<i>m</i><sub>1</sub>,<i>m</i><sub>2</sub>,<i>m</i><sub>3</sub>,<i>m</i><sub>4</sub>, пересекающиеся в одной точке<i>O</i>. Через произвольную точку<i>A</i><sub>1</sub>прямой<i>m</i><sub>1</sub>проводим прямую, параллельную прямой<i>m</i><sub>4</sub>, до пересечения с прямой<i>m</i><sub>2</sub>в точке<i>A</i><sub>2</sub>, через<i>A</i><sub>2</sub>проводим прямую, параллельную<i>m</i><sub>1</sub>, до пересечения с<i>m</i><sub>3</sub>в точке<i>A</i><sub>3</sub...
Дано число <i>H</i> = 2·3·5·7·11·13·17·19·23·29·31·37 (произведение простых чисел). Пусть 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, ..., <i>H</i> – все его делители, выписанные в порядке возрастания. Под рядом делителей выпишем ряд из единиц и минус единиц по следующему правилу: под единицей 1, под числом, которое разлагается на чётное число простых сомножителей, 1, и под числом, которое разлагается на нечётное число простых сомножителей, –1. Доказать, что сумма чисел полученного ряда равна 0.
Решить систему: 10<i>x</i><sub>1</sub> + 3<i>x</i><sub>2</sub> + 4<i>x</i><sub>3</sub> + <i>x</i><sub>4</sub> + <i>x</i><sub>5</sub> = 0, 11<i>x</i><sub>2</sub> + 2<i>x</i><sub>3</sub> + 2<i>x</i><sub>4</sub> + 3<i>x</i><sub>5</sub> + <i>x</i><sub>6</sub> = 0, 15<i>x</i><sub>3</sub> + 4<i>x</i><sub>4</sub> + 5<i>x</i><sub>5</sub> + 4<i>x</i><sub>6</sub> + <i>x</i><sub>7</sub> = 0, 2<i>x</i><sub>1&...