Олимпиадные задачи из источника «1954 год» для 4-9 класса - сложность 3 с решениями
Если дан ряд из 15 чисел<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>,..., <i>a</i><sub>15</sub>, (1) </div>то можно написать второй ряд<div align="CENTER"> <i>b</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>2</sub>,..., <i>b</i><sub>15</sub>, (2) </div>где<i>b</i><sub>i</sub>(<i>i</i>= 1, 2, 3,..., 15) равно числу чисел ряда (1), меньших<i>a</i><sub>i</sub>. Существует ли ряд чисел<i>a</i><sub>i</sub>, если дан ряд чисел<i>b</i><sub>i</sub>:<div align="CENTER"> 1, 0, 3, 6, 9, 4, 7...
Сто положительных чисел <i>C</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>2</sub>, ..., <i>C</i><sub>100</sub> удовлетворяют условиям <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78018/problem_78018_img_2.gif">
Доказать, что среди них можно найти три числа, сумма которых больше 100.
Даны четыре прямые<i>m</i><sub>1</sub>,<i>m</i><sub>2</sub>,<i>m</i><sub>3</sub>,<i>m</i><sub>4</sub>, пересекающиеся в одной точке<i>O</i>. Через произвольную точку<i>A</i><sub>1</sub>прямой<i>m</i><sub>1</sub>проводим прямую, параллельную прямой<i>m</i><sub>4</sub>, до пересечения с прямой<i>m</i><sub>2</sub>в точке<i>A</i><sub>2</sub>, через<i>A</i><sub>2</sub>проводим прямую, параллельную<i>m</i><sub>1</sub>, до пересечения с<i>m</i><sub>3</sub>в точке<i>A</i><sub>3</sub...
На двух лучах<i>l</i><sub>1</sub>и<i>l</i><sub>2</sub>, исходящих из точки<i>O</i>, отложены отрезки<i>OA</i><sub>1</sub>и<i>OB</i><sub>1</sub>на луче<i>l</i><sub>1</sub>и<i>OA</i><sub>2</sub>и<i>OB</i><sub>2</sub>на луче<i>l</i><sub>2</sub>; при этом${\frac{OA_1}{OA_2}}$$\ne$${\frac{OB_1}{OB_2}}$.
Определить геометрическое место точек<i>S</i>пересечения прямых<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>и<i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub>при вращении луча<i>l</i><su...
Дано число <i>H</i> = 2·3·5·7·11·13·17·19·23·29·31·37 (произведение простых чисел). Пусть 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, ..., <i>H</i> – все его делители, выписанные в порядке возрастания. Под рядом делителей выпишем ряд из единиц и минус единиц по следующему правилу: под единицей 1, под числом, которое разлагается на чётное число простых сомножителей, 1, и под числом, которое разлагается на нечётное число простых сомножителей, –1. Доказать, что сумма чисел полученного ряда равна 0.
Решить систему: 10<i>x</i><sub>1</sub> + 3<i>x</i><sub>2</sub> + 4<i>x</i><sub>3</sub> + <i>x</i><sub>4</sub> + <i>x</i><sub>5</sub> = 0, 11<i>x</i><sub>2</sub> + 2<i>x</i><sub>3</sub> + 2<i>x</i><sub>4</sub> + 3<i>x</i><sub>5</sub> + <i>x</i><sub>6</sub> = 0, 15<i>x</i><sub>3</sub> + 4<i>x</i><sub>4</sub> + 5<i>x</i><sub>5</sub> + 4<i>x</i><sub>6</sub> + <i>x</i><sub>7</sub> = 0, 2<i>x</i><sub>1&...
План города представляет собой плоскость, разбитую на одинаковые правильные треугольники. Стороны треугольников – шоссейные дороги, а вершины треугольников – перекрестки. Из точек <i>A</i> и <i>B</i>, расположенных на одной дороге (стороне треугольника), одновременно в одном направлении с одинаковыми скоростями выезжают две машины. Доехав до любого перекрёстка, каждая машина может или продолжить свое движение в том же направлении, или же повернуть на 120° вправо или влево. Могут ли машины встретиться?