Олимпиадные задачи из источника «7 класс, 1 тур» для 3-8 класса - сложность 2-4 с решениями

От<i>A</i>до<i>B</i> 999 км. Вдоль дороги стоят километровые столбы, на которых написаны расстояния до<i>A</i>и до<i>B</i>: <img width="54" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78097/problem_78097_img_2.gif">,<img width="54" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78097/problem_78097_img_3.gif">, ...,<img width="54" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78097/problem_78097_img_4.gif">. Сколько среди них таких, на которых имеются только две различные цифры?

В прямоугольной таблице, составленной из положительных чисел, произведение суммы чисел любого столбца на сумму чисел любой строки равно числу, стоящему на их пересечении. Доказать, что сумма всех чисел в таблице равна единице.

Известно, что  <i>ax</i>³ + <i>bx</i>² + <i>cx + d</i>,  где <i>a, b, c, d</i> – данные целые числа, при любом целом <i>x</i> делится на 5. Доказать, что все числа <i>a, b, c, d</i> делятся на 5.

Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом.

Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет лишь через целое число часов.