Олимпиадные задачи из источника «1958 год» для 10 класса - сложность 2 с решениями
Обозначим через<i>a</i>наименьшее число кругов радиуса 1, которыми можно полностью покрыть заданный многоугольник<i>M</i>, через<i>b</i>— наибольшее число непересекающихся кругов радиуса 1 с центрами внутри многоугольника<i>M</i>. Какое из чисел больше,<i>a</i>или<i>b</i>?
Решить в натуральных числах уравнение <i>x</i><sup>2<i>y</i>–1</sup> + (<i>x</i> + 1)<sup>2<i>y</i>–1</sup> = (<i>x</i> + 2)<sup>2<i>y</i>–1</sup>.
Внутри угла <i>AOB</i> взята точка <i>C</i>, опущены перпендикуляры <i>CD</i> на сторону <i>OA</i> и <i>CE</i> на сторону <i>OB</i>. Затем опущены перпендикуляры <i>EM</i> на сторону <i>OA</i> и <i>DN</i> на сторону <i>OB</i>. Доказать, что <i>OC</i> ⊥ <i>MN</i>.
Для любых чисел <i>a</i><sub>1</sub> и <i>a</i><sub>2</sub>, удовлетворяющих условиям <i>a</i><sub>1</sub> ≥ 0, <i>a</i><sub>2</sub> ≥ 0, <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> = 1, можно найти такие числа <i>b</i><sub>1</sub> и <i>b</i><sub>2</sub>, что <i>b</i><sub>1</sub> ≥ 0, <i>b</i><sub>2</sub> ≥ 0, <i>b</i><sub>1</sub> + <i>b</i><sub>2</sub> = 1,
(<sup>5</sup>/<sub>4</sub> – <i>a</i><sub>1</sub>)<i>b</i><sub>1</sub>...
Из бумаги вырезан многоугольник. Две точки его границы соединяются отрезком, по которому многоугольник складывается. Доказать, что периметр многоугольника, получающегося после складывания, меньше периметра исходного многоугольника.
Доказать, что на плоскости нельзя расположить больше четырёх выпуклых многоугольников так, чтобы каждые два из них имели общую сторону.
Решить в целых положительных числах уравнение
<div align="center"><img src="/storage/problem-media/78143/problem_78143_img_2.gif"></div>
Доказать, что если |<i>ax</i>² – <i>bx + c</i>| < 1 при любом <i>x</i> из отрезка [–1, 1], то и |(<i>a + b</i>)<i>x</i>² + <i>c</i>| < 1 на этом отрезке.
Решить в натуральных числах уравнение <div align="center"><img src="/storage/problem-media/78138/problem_78138_img_2.gif"></div>
На круглой поляне радиуса<i>R</i>растут три круглые сосны одинакового диаметра. Центры их стволов находятся на расстоянии${\frac{R}{2}}$от центра поляны в вершинах равностороннего треугольника. Два человека, выйдя одновременно из диаметрально противоположных точек поляны, обходят поляну по краю с одинаковой скоростью и в одном направлении и всё время не видят друг друга. Увидят ли друг друга три человека, если они так же будут обходить поляну, выйдя из точек, находящихся в вершинах вписанного в поляну правильного треугольника?
На плоскости даны точки<i>A</i>и<i>B</i>. Построить такой квадрат, чтобы точки<i>A</i>и<i>B</i>лежали на его границе и сумма расстояний от точки<i>A</i>до вершин квадрата была наименьшей.
Сколько существует четырёхзначных номеров (от 0001 до 9999), у которых сумма двух первых цифр равна сумме двух последних цифр?
В круге проведены два диаметра<i>AB</i>и<i>CD</i>. Доказать, что если<i>M</i>— произвольная точка окружности, а<i>P</i>и<i>Q</i>— её проекции на диаметры<i>AB</i>и<i>CD</i>, то длина отрезка<i>PQ</i>не зависит от выбора точки<i>M</i>.