Олимпиадные задачи из источника «1958 год» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями
На<i>n</i>карточках написаны с разных сторон числа — на 1-й: 0 и 1; на 2-й: 1 и 2; ...; на<i>n</i>-й:<i>n</i>- 1 и<i>n</i>.
Один человек берёт из стопки несколько карточек и показывает второму одну сторону каждой из них. Затем берёт из стопки еще одну карточку и тоже показывает одну сторону.
Указать все случаи, в которых второй может определить число, написанное на обороте последней показанной ему карточки.
Стороны параллелограмма равны<i>a</i>и<i>b</i>. Найти отношение объёмов тел, полученных при вращении параллелограмма вокруг стороны<i>a</i>и вокруг стороны<i>b</i>.
В многоугольнике существуют такие точки<i>A</i>и<i>B</i>, что любая соединяющая их ломаная, проходящая внутри или по границе многоугольника, имеет длину больше
- Доказать, что периметр многоугольника больше 2.
Решить в натуральных числах уравнение <i>x</i><sup>2<i>y</i></sup> + (<i>x</i> + 1)<sup>2<i>y</i></sup> = (<i>x</i> + 2)<sup>2<i>y</i></sup>.
Между зажимами <i>A</i> и <i>B</i> включено несколько сопротивлений. Каждое сопротивление имеет входной и выходной зажимы. Какое наименьшее число сопротивлений необходимо иметь и какова может быть схема их соединения, чтобы при порче любых девяти сопротивлений цепь оставалась соединяющей зажимы <i>A</i> и <i>B</i>, но не было короткого замыкания? (Порча сопротивления: короткое замыкание или обрыв.)
Обозначим через<i>a</i>наименьшее число кругов радиуса 1, которыми можно полностью покрыть заданный многоугольник<i>M</i>, через<i>b</i>— наибольшее число непересекающихся кругов радиуса 1 с центрами внутри многоугольника<i>M</i>. Какое из чисел больше,<i>a</i>или<i>b</i>?
Игральная доска имеет форму ромба с углом 60°. Каждая сторона ромба разделена на девять частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам и малой диагонали ромба, разбивающие доску на треугольные клетки. Если на некоторой клетке поставлена фишка, проведём через эту клетку три прямые, параллельные сторонам и малой диагонали ромба. Клетки, которые они пересекут, будут считаться побитыми фишкой. Каким наименьшим числом фишек можно побить все клетки доски?
Провести из точки<i>O</i><i>n</i>лучей на плоскости так, чтобы сумма всех попарных углов между ними была наибольшей. (Рассматриваются только углы, не превышающие180<sup><tt>o</tt></sup>.)
На плоскости даны четыре прямые, из которых никакие две не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке. По каждой прямой с постоянной скоростью идёт пешеход. Известно, что первый встречается со вторым, с третьим и с четвёртым, а второй встречается с третьим и с четвёртым. Доказать, что третий пешеход встретится с четвёртым.
На стол кладут правильный 100-угольник, в вершинах которого написаны числа 1, 2, ..., 100. Затем эти числа переписывают в порядке удаления от переднего края стола. Если две вершины находятся на равном расстоянии от края, сначала выписывается левое число, затем правое. Выписаны всевозможные наборы чисел, соответствующие разным положениям 100-угольника. Вычислить сумму чисел, стоящих в этих наборах на 13-х местах слева.
Доказать, что 1155<sup>1958</sup> + 34<sup>1958</sup> ≠ <i>n</i>², где <i>n</i> – целое.
Отрезок длиной 3<sup>n</sup>разбивается на три равные части. Первая и третья из них называются отмеченными. Каждый из отмеченных отрезков разбивается на три части, из которых первая и третья снова называются отмеченными и т.д. до тех пор, пока не получатся отрезки длиной 1. Концы всех отмеченных отрезков называются отмеченными точками. Доказать, что для любого целого<i>k</i>(1$\le$<i>k</i>$\le$3<sup>n</sup>) можно найти две отмеченные точки, расстояние между которыми равно<i>k</i>.
Решить в целых положительных числах уравнение
<div align="center"><img src="/storage/problem-media/78143/problem_78143_img_2.gif"></div>
Какое наибольшее число осей симметрии может иметь пространственная фигура, состоящая из трёх прямых, из которых никакие две не параллельны и не совпадают?
Доказать, что если |<i>ax</i>² – <i>bx + c</i>| < 1 при любом <i>x</i> из отрезка [–1, 1], то и |(<i>a + b</i>)<i>x</i>² + <i>c</i>| < 1 на этом отрезке.
Бесконечная плоская ломаная<i>A</i><sub>0</sub><i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>..., все углы которой прямые, начинается в точке<i>A</i><sub>0</sub>с координатами<i>x</i>= 0,<i>y</i>= 1 и обходит начало координат<i>O</i>по часовой стрелке. Первое звено ломаной имеет длину 2 и параллельно биссектрисе 4-го координатного угла. Каждое из следующих звеньев пересекает одну из координатных осей и имеет наименьшую возможную при этом целочисленную длину. Расстояние<i>OA</i><sub>n</sub>=<i>l</i><sub>n</sub>. Сумма длин первых<i>n</i>звеньев ломаной равна<i>s</i><sub>n</sub>. До...
Проекции многоугольника на ось<i>OX</i>, биссектрису 1-го и 3-го координатных углов, ось<i>OY</i>и биссектрису 2-го и 4-го координатных углов равны соответственно 4, 3$\sqrt{2}$, 5, 4$\sqrt{2}$. Площадь многоугольника —<i>S</i>. Доказать, что<i>S</i>$\le$17, 5.