Олимпиадные задачи из источника «1958 год» для 7-9 класса - сложность 3-4 с решениями
Обозначим через<i>a</i>наибольшее число непересекающихся кругов диаметра 1, центры которых лежат внутри многоугольника<i>M</i>, через<i>b</i>— наименьшее число кругов радиуса 1, которыми можно покрыть весь многоугольник<i>M</i>.
Какое число больше:<i>a</i>или<i>b</i>?
На плоскости даны четыре прямые, из которых никакие две не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке. По каждой прямой с постоянной скоростью идёт пешеход. Известно, что первый встречается со вторым, с третьим и с четвёртым, а второй встречается с третьим и с четвёртым. Доказать, что третий пешеход встретится с четвёртым.
Доказать, что 1155<sup>1958</sup> + 34<sup>1958</sup> ≠ <i>n</i>², где <i>n</i> – целое.
Отрезок длиной 3<sup>n</sup>разбивается на три равные части. Первая и третья из них называются отмеченными. Каждый из отмеченных отрезков разбивается на три части, из которых первая и третья снова называются отмеченными и т.д. до тех пор, пока не получатся отрезки длиной 1. Концы всех отмеченных отрезков называются отмеченными точками. Доказать, что для любого целого<i>k</i>(1$\le$<i>k</i>$\le$3<sup>n</sup>) можно найти две отмеченные точки, расстояние между которыми равно<i>k</i>.
Бесконечная плоская ломаная<i>A</i><sub>0</sub><i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>..., все углы которой прямые, начинается в точке<i>A</i><sub>0</sub>с координатами<i>x</i>= 0,<i>y</i>= 1 и обходит начало координат<i>O</i>по часовой стрелке. Первое звено ломаной имеет длину 2 и параллельно биссектрисе 4-го координатного угла. Каждое из следующих звеньев пересекает одну из координатных осей и имеет наименьшую возможную при этом целочисленную длину. Расстояние<i>OA</i><sub>n</sub>=<i>l</i><sub>n</sub>. Сумма длин первых<i>n</i>звеньев ломаной равна<i>s</i><sub>n</sub>. До...
Проекции многоугольника на ось<i>OX</i>, биссектрису 1-го и 3-го координатных углов, ось<i>OY</i>и биссектрису 2-го и 4-го координатных углов равны соответственно 4, 3$\sqrt{2}$, 5, 4$\sqrt{2}$. Площадь многоугольника —<i>S</i>. Доказать, что<i>S</i>$\le$17, 5.
Доказать, что если уравнения с целыми коэффициентами <i>x</i>² + <i>p</i><sub>1</sub><i>x + q</i><sub>1</sub>, <i>x</i>² + <i>p</i><sub>2</sub><i>x + q</i><sub>2</sub> имеют общий нецелый корень, то <i>p</i><sub>1</sub> = <i>p</i><sub>2</sub> и <i>q</i><sub>1</sub> = <i>q</i><sub>2</sub>.
Внутри треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>O</i>. На лучах <i>OA</i>, <i>OB</i> и <i>OC</i> построены векторы единичной длины.
Доказать, что сумма этих векторов имеет длину, меньшую единицы.
Дана следующая треугольная таблица чисел: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/78134/problem_78134_img_2.gif"></div>Каждое число (кроме чисел верхней строчки) равно сумме двух ближайших чисел предыдущей строчки. Доказать, что число, стоящее в самой нижней строчке, делится на 1958.