Олимпиадные задачи из источника «1960 год» для 6-8 класса - сложность 3 с решениями
Дана окружность и точка <i>A</i> внутри неё.
Найдите геометрическое место вершин <i>C</i> всевозможных прямоугольников <i>ABCD</i>, где точки <i>B</i> и <i>D</i> лежат на окружности.
Собралось <i>n</i> человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.
Число<i>A</i>делится на 1, 2, 3, ..., 9. Доказать, что если 2<i>A</i>представлено в виде суммы натуральных чисел, меньших 10, 2<i>A</i>=<i>a</i><sub>1</sub>+<i>a</i><sub>2</sub>+ ... +<i>a<sub>k</sub></i>, то из чисел<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>, ...,<i>a<sub>k</sub></i>можно выбрать часть, сумма которых равна<i>A</i>.
Улитка ползёт с непостоянной скоростью. Несколько человек наблюдало за ней по очереди в течение 6 минут. Каждый начинал наблюдать раньше, чем кончал предыдущий, и наблюдал ровно 1 минуту. За эту минуту улитка проползла ровно 1 м. Доказать, что за все 6 минут улитка могла проползти самое большее 10 м.
Доказать, что любой несамопересекающийся пятиугольник лежит по одну сторону от хотя бы одной своей стороны.
Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде <i>p + n</i><sup>2<i>k</i></sup> ни при каких простых <i>p</i> и целых <i>n</i> и <i>k</i>.
<i>M</i>и<i>N</i>— точки пересечения двух окружностей с центрами<i>O</i><sub>1</sub>и<i>O</i><sub>2</sub>. Прямая<i>O</i><sub>1</sub><i>M</i>пересекает1-ю окружность в точке<i>A</i><sub>1</sub>, а2-ю в точке<i>A</i><sub>2</sub>. Прямая<i>O</i><sub>2</sub><i>M</i>пересекает1-ю окружность в точке<i>B</i><sub>1</sub>, а2-ю в точке<i>B</i><sub>2</sub>. Доказать, что прямые<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub>и<i>MN...