Олимпиадные задачи из источника «1961 год» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями

Дан произвольный набор из +1 и -1 длиной 2^k. Из него получается новый по следующему правилу: каждое число умножается на следующее за ним; последнее 2^k-тое число умножается на первое. С новым набором из 1 и -1 проделывается то же самое и т.д.

Доказать, что в конце концов получается набор, состоящий из одних единиц.

Расстояние от фиксированной точки<i>P</i>плоскости до двух вершин<i>A</i>,<i>B</i>равностороннего треугольника<i>ABC</i>равны<i>AP</i>= 2;<i>BP</i>= 3. Определить, какое максимальное значение может иметь отрезок<i>PC</i>.

Доказать, что для любых трёх бесконечных последовательностей натуральных чисел<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT"><i>a</i>₁...</td> <td align="CENTER"><i>a</i>_n</td> <td align="LEFT">...</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT"><i>b</i>₁...</td> <td align="CENTER"><i>b</i>_n</td> <td align="LEFT">...</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT"><i>c</i><sub>1</sub&...

<i>n</i> точек соединены отрезками так, что каждая точка с чем-нибудь соединена и нет таких двух точек, которые соединялись бы двумя разными путями.

Доказать, что общее число отрезков равно  <i>n</i> – 1.

В клетки таблицы <i>m×n</i> вписаны некоторые числа. Разрешается одновременно менять знак у всех чисел некоторого столбца или некоторой строки. Доказать, что многократным повторением этой операции можно превратить данную таблицу в такую, у которой суммы чисел, стоящих в каждом столбце и каждой строке, неотрицательны.

Точки<i>A</i>и<i>B</i>движутся равномерно и с равными угловыми скоростями по окружностям<i>O</i>₁и<i>O</i>₂соответственно (по часовой стрелке). Доказать, что вершина<i>C</i>правильного треугольника<i>ABC</i>также движется равномерно по некоторой окружности.

Известно, что<i>Z</i>₁+ ... +<i>Z</i>_n= 0, где<i>Z</i>_k— комплексные числа. Доказать, что среди этих чисел найдутся два таких, что разность их аргументов больше или равна120^<tt>o</tt>.

<i>k</i>человек ехали в автобусе без кондуктора, и у всех них были монеты только достоинством в 10, 15, 20 копеек. Известно, что каждый уплатил за проезд и получил сдачу. Доказать, что наименьшее число монет, которое они могли иметь, равно<i>k</i>+$\left[\vphantom{\frac{k+3}{4}}\right.$${\frac{k+3}{4}}$$\left.\vphantom{\frac{k+3}{4}}\right]$, где значок [<i>a</i>] означает наибольшее целое число, не превосходящее<i>a</i>.<b>Примечание.</b>Проезд в автобусе стоит 5 копеек.

На плоскости проведено несколько полос разной ширины. Никакие две из них не параллельны. Как нужно сдвинуть их параллельно самим себе, чтобы площадь их общей части была наибольшей?

Дана последовательность чисел <i>F</i>₁, <i>F</i>₂, ...;  <i>F</i>₁ = <i>F</i>₂ = 1  и   <i>F</i>_<i>n</i>+2 = <i>F_n + F</i>_<i>n</i>+1.  Доказать, что <i>F</i>_5<i>k</i> делится на 5 при  <i>k</i> = 1, 2, ... .

На плоскости дано<i>N</i>точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Если<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>— любые три из них, то внутри треугольника<i>ABC</i>нет ни одной точки из данных. Доказать, что эти точки можно занумеровать так, что многоугольник<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_nбудет выпуклым.

В автобусе без кондуктора едут 4<i>k</i>пассажиров. У каждого из них есть только монеты в 10, 15, 20 копеек. Доказать, что если общее число монет меньше 5<i>k</i>, то пассажиры не смогут правильно расплатиться за проезд. Для числа монет 5<i>k</i>построить пример, когда возможен правильный расчет.<b>Примечание.</b>Проезд в автобусе стоит 5 копеек.

Доказать, что можно так расположить числа от 1 до <i>n</i>² в таблицу <i>n</i>×<i>n</i>, чтобы суммы чисел каждого столбца были равны.

Играют двое; один из них загадывает набор из целых чисел (<i>x</i>₁,<i>x</i>₂,...,<i>x</i>_n) -- однозначных, как положительных, так и отрицательных. Второму разрешается спрашивать, чему равна сумма<i>a</i>₁<i>x</i>₁+ ... +<i>a</i>_n<i>x</i>_n, где(<i>a</i>₁...<i>a</i>_n) -- любой набор. Каково наименьшее число вопросов, за которое отгадывающий узнает задуманный набор?