Олимпиадные задачи из источника «1961 год» для 11 класса - сложность 2-5 с решениями
Дан произвольный набор из +1 и -1 длиной 2<sup>k</sup>. Из него получается новый по следующему правилу: каждое число умножается на следующее за ним; последнее 2<sup>k</sup>-тое число умножается на первое. С новым набором из 1 и -1 проделывается то же самое и т.д.
Доказать, что в конце концов получается набор, состоящий из одних единиц.
Расстояние от фиксированной точки<i>P</i>плоскости до двух вершин<i>A</i>,<i>B</i>равностороннего треугольника<i>ABC</i>равны<i>AP</i>= 2;<i>BP</i>= 3. Определить, какое максимальное значение может иметь отрезок<i>PC</i>.
Доказать, что для любых трёх бесконечных последовательностей натуральных чисел<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT"><i>a</i><sub>1</sub>...</td> <td align="CENTER"><i>a</i><sub>n</sub></td> <td align="LEFT">...</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT"><i>b</i><sub>1</sub>...</td> <td align="CENTER"><i>b</i><sub>n</sub></td> <td align="LEFT">...</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT"><i>c</i><sub>1</sub&...
<i>n</i> точек соединены отрезками так, что каждая точка с чем-нибудь соединена и нет таких двух точек, которые соединялись бы двумя разными путями.
Доказать, что общее число отрезков равно <i>n</i> – 1.
В клетки таблицы <i>m×n</i> вписаны некоторые числа. Разрешается одновременно менять знак у всех чисел некоторого столбца или некоторой строки. Доказать, что многократным повторением этой операции можно превратить данную таблицу в такую, у которой суммы чисел, стоящих в каждом столбце и каждой строке, неотрицательны.
Точки<i>A</i>и<i>B</i>движутся равномерно и с равными угловыми скоростями по окружностям<i>O</i><sub>1</sub>и<i>O</i><sub>2</sub>соответственно (по часовой стрелке). Доказать, что вершина<i>C</i>правильного треугольника<i>ABC</i>также движется равномерно по некоторой окружности.
Известно, что<i>Z</i><sub>1</sub>+ ... +<i>Z</i><sub>n</sub>= 0, где<i>Z</i><sub>k</sub>— комплексные числа. Доказать, что среди этих чисел найдутся два таких, что разность их аргументов больше или равна120<sup><tt>o</tt></sup>.
Окружность<i>S</i>и точка<i>O</i>лежат в одной плоскости, причём<i>O</i>находится вне окружности. Построим произвольный шар, проходящий через окружность<i>S</i>, и опишем конус с вершиной в точке<i>O</i>и касающийся шара. Найти геометрическое место центров окружностей, по которым конусы касаются шаров.
<i>k</i>человек ехали в автобусе без кондуктора, и у всех них были монеты только достоинством в 10, 15, 20 копеек. Известно, что каждый уплатил за проезд и получил сдачу. Доказать, что наименьшее число монет, которое они могли иметь, равно<i>k</i>+$\left[\vphantom{\frac{k+3}{4}}\right.$${\frac{k+3}{4}}$$\left.\vphantom{\frac{k+3}{4}}\right]$, где значок [<i>a</i>] означает наибольшее целое число, не превосходящее<i>a</i>.<b>Примечание.</b>Проезд в автобусе стоит 5 копеек.
На плоскости проведено несколько полос разной ширины. Никакие две из них не параллельны. Как нужно сдвинуть их параллельно самим себе, чтобы площадь их общей части была наибольшей?
Дана последовательность чисел <i>F</i><sub>1</sub>, <i>F</i><sub>2</sub>, ...; <i>F</i><sub>1</sub> = <i>F</i><sub>2</sub> = 1 и <i>F</i><sub><i>n</i>+2</sub> = <i>F<sub>n</sub> + F</i><sub><i>n</i>+1</sub>. Доказать, что <i>F</i><sub>5<i>k</i></sub> делится на 5 при <i>k</i> = 1, 2, ... .
На плоскости дано<i>N</i>точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Если<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>— любые три из них, то внутри треугольника<i>ABC</i>нет ни одной точки из данных. Доказать, что эти точки можно занумеровать так, что многоугольник<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>будет выпуклым.
В автобусе без кондуктора едут 4<i>k</i>пассажиров. У каждого из них есть только монеты в 10, 15, 20 копеек. Доказать, что если общее число монет меньше 5<i>k</i>, то пассажиры не смогут правильно расплатиться за проезд. Для числа монет 5<i>k</i>построить пример, когда возможен правильный расчет.<b>Примечание.</b>Проезд в автобусе стоит 5 копеек.
Доказать, что можно так расположить числа от 1 до <i>n</i>² в таблицу <i>n</i>×<i>n</i>, чтобы суммы чисел каждого столбца были равны.
Играют двое; один из них загадывает набор из целых чисел (<i>x</i><sub>1</sub>,<i>x</i><sub>2</sub>,...,<i>x</i><sub>n</sub>) -- однозначных, как положительных, так и отрицательных. Второму разрешается спрашивать, чему равна сумма<i>a</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>1</sub>+ ... +<i>a</i><sub>n</sub><i>x</i><sub>n</sub>, где(<i>a</i><sub>1</sub>...<i>a</i><sub>n</sub>) -- любой набор. Каково наименьшее число вопросов, за которое отгадывающий узнает задуманный набор?