Олимпиадные задачи из источника «7 класс, 1 тур» для 7 класса - сложность 2-4 с решениями

Последовательность <i>a</i>₀, <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ... образована по закону:  <i>a</i>₀ = <i>a</i>₁ = 1,  <i>a</i>_<i>n</i>+1 = <i>a_na</i>_<i>n</i>–1 + 1.  Доказать, что число <i>a</i>₁₉₆₄ не делится на 4.

На листе бумаги проведено 11 горизонтальных и 11 вертикальных прямых, точки пересечения которых называются <i>узлами, звеном</i>" мы будем называть отрезок прямой, соединяющий два соседних узла одной прямой. Какое наименьшее число звеньев надо стереть, чтобы после этого в каждом узле сходилось не более трёх звеньев?

Доказать, что сумма цифр числа, являющегося точным квадратом, не может равняться 5.

На данной окружности выбраны диаметрально противоположные точки<i>A</i>и<i>B</i>и третья точка<i>C</i>. Касательная, проведённая к окружности в точке<i>A</i>, и прямая<i>BC</i>пересекаются в точке<i>M</i>.

Доказать, что касательная, проведённая к окружности в точке<i>C</i>, делит пополам отрезок<i>AM</i>.