Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 1 тур» - сложность 1-4 с решениями

Бумажный квадрат был проколот в 1965 точках. Из точек-проколов и вершин квадрата никакие три не лежат на одной прямой. Потом сделали несколько прямолинейных не пересекающихся между собой разрезов, каждый из которых начинался и кончался только в проколотых точках или вершинах квадрата. Оказалось, что квадрат разрезан на треугольники, внутри которых проколов нет. Сколько было сделано разрезов и сколько получилось треугольников?

<i>X</i> – число, большее 2. Некто пишет на карточках числа:   1, <i>X, X</i>², <i>X</i>³, <i>X</i>⁴, ..., <i>X^k</i> (каждое число только на одной карточке). Потом часть карточек он кладёт себе в правый карман, часть   в левый, остальные выбрасывает. Докажите, что сумма чисел в правом кармане не может быть равна сумме чисел в левом.

Концы отрезка постоянной длины скользят по сторонам данного угла. Из середины этого отрезка к нему восставлен перпендикуляр. Докажите, что отрезок перпендикуляра от его начала до точки пересечения с биссектрисой угла имеет постоянную длину.

Шестизначное число делится на 37 и имеет хотя бы две различные цифры. Его первая и четвёртая цифры – не нули.

Докажите, что, переставив цифры в данном числе, можно получить другое число, тоже кратное 37 и не начинающееся с нуля.

Окружности<i>O</i>₁и<i>O</i>₂лежат внутри треугольника и касаются друг друга извне, причём окружность<i>O</i>₁касается двух сторон треугольника, а окружность<i>O</i>₂-- тоже касается двух сторон треугольника, но не тех же, что<i>O</i>₁. Доказать, что сумма радиусов этих окружностей больше радиуса окружности, вписанной в треугольник.