Олимпиадные задачи из источника «1967 год» для 11 класса - сложность 2-4 с решениями
Рассматриваются всевозможные<i>n</i>-значные числа, составленные из цифр 1, 2 и 3. В конце каждого из этих чисел приписывается цифра 1, 2 или 3 так, что к двум числам, у которых во всех разрядах стоят разные цифры, приписываются разные цифры. Доказать, что найдется<i>n</i>-значное число, в записи которого участвует лишь одна единица и к которому приписывается единица.
В восьми данных точках пространства установлено по прожектору, каждый из которых может осветить в пространстве октант (трёхгранный угол со взаимно-перпендикулярными сторонами). Доказать, что можно повернуть прожекторы так, чтобы они осветили все пространство.
Дана таблица <i>n</i>×<i>n</i> клеток и такие натуральные числа <i>k</i> и <i>m > k</i>, что <i>m</i> и <i>n – k</i> взаимно просты. Таблица заполняется следующим образом: пусть в некоторой строчке записаны числа <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>k</sub>, a</i><sub><i>k</i>+1</sub>, ..., <i>a<sub>m</sub>, a</i><sub><i>m</i>+1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>. Тогда в следующей строчке записываются те же числа, но в таком порядке: <i>a</i><sub><i>m</i>+1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub>, a</i><sub><i>...
На каждой стороне треугольника<i>ABC</i>построено по квадрату во внешнюю сторону (пифагоровы штаны). Оказалось, что внешние вершины всех квадратов лежат на одной окружности. Доказать, что треугольник<i>ABC</i>— равнобедренный.
Дана последовательность целых положительных чисел<i>X</i><sub>1</sub>,<i>X</i><sub>2</sub>...<i>X</i><sub>n</sub>, все элементы которой не превосходят некоторого числа<i>M</i>. Известно, что при всех<i>k</i>> 2<i>X</i><sub>k</sub>= |<i>X</i><sub>k - 1</sub>-<i>X</i><sub>k - 2</sub>|. Какой может быть максимальная длина этой последовательности?
Обозначим через <i>d</i>(<i>N</i>) число делителей <i>N</i> (числа 1 и <i>N</i> также считаются делителями). Найти все такие <i>N</i>, что число <i>P</i> = <img width="36" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78619/problem_78619_img_2.gif"> – простое.
Доказать, что существует число<i>q</i>такое, что в десятичной записи числа<i>q</i><sup> . </sup>2<sup>1000</sup>нет ни одного нуля.
Доказать, что уравнение 19<i>x</i>³ – 17<i>y</i>³ = 50 не имеет решений в целых числах.
Доказать, что в круге радиуса 1 нельзя найти более 5 точек, попарные расстояния между которыми все больше 1.
Имеется 120-значное число. Его первые 12 цифр переставляются всеми возможными способами. Из полученных таким образом 120-значных чисел наугад выбирают 120 чисел. Доказать, что их сумма делится на 120.
Можно ли разрезать квадратный пирог на 9 равновеликих частей таким способом: выбрать внутри квадрата две точки и соединить каждую из них прямолинейными разрезами со всеми четырьмя вершинами квадрата? Если можно, то какие две точки нужно выбрать?
Имеется лабиринт, состоящий из<i>n</i>окружностей, касающихся прямой<i>AB</i>в точке<i>M</i>. Все окружности расположены по одну сторону от прямой, а их длины составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Два человека в разное время начали ходить по этому лабиринту. Их скорости одинаковы, а направления движения различны. Каждый из них проходит все окружности по порядку, и, пройдя наибольшую, снова идет в меньшую. Доказать, что они встретятся.