Олимпиадные задачи из источника «1969 год» для 10 класса - сложность 1-2 с решениями
Из натуральных чисел составляются последовательности, в которых каждое последующее число больше квадрата предыдущего, а последнее число в последовательности равно 1969 (последовательности могут иметь разную длину). Доказать, что различных последовательностей такого вида меньше чем 1969.
Дана бесконечная последовательность чисел <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>, ... Она периодична с периодом 100, то есть <i>a</i><sub>1</sub> = <i>a</i><sub>101</sub>, <i>a</i><sub>2</sub> = <i>a</i><sub>102</sub>, ... Известно, что <i>a</i><sub>1</sub> ≥ 0, <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> ≤ 0, <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + <i>a</i><sub>3</sub> ≥ 0 и вообще, сумма <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + ....
В государстве царя Додона расположено 500 городов, каждый из которых имеет форму правильной 37-угольной звезды, в вершинах которой находятся башни. Додон решил обнести их выпуклой стеной так, чтобы каждый отрезок стены соединял две башни. Доказать, что стена будет состоять не менее чем из 37 отрезков. (Если несколько отрезков лежат на одной прямой, то они считаются за один.)
Можно ли записать в строку 50 чисел так, чтобы сумма любых 17 последовательных чисел была положительна, а сумма любых 10 последовательных чисел была отрицательна?
Остров<i>Толпыго</i>имеет форму многоугольника. На нём расположено несколько стран, каждая из которых имеет форму треугольника, причём каждые две граничащие страны имеют целую общую сторону (т.е. вершина одного треугольника не лежит на стороне другого). Доказать, что карту этого острова можно так раскрасить тремя красками, чтобы каждая страна была закрашена одним цветом и любые две соседние страны были закрашениы в разные цвета.
Найти все натуральные числа <i>x</i>, обладающие следующим свойством: из каждой цифры числа <i>x</i> можно вычесть одну и ту же цифру <i>a</i> ≠ 0 (все цифры его не меньше <i>a</i>) и при этом получится (<i>x</i> − <i>a</i>)².