Олимпиадные задачи из источника «1969 год» для 10 класса - сложность 2-3 с решениями
В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес, приблизилось время новых президентских выборов. В стране ровно 20 миллионов избирателей, из которых только один процент поддерживает Мирафлореса (регулярная армия Анчурии). Мирафлорес, естественно, хочет быть избранным, но, с другой стороны, он хочет, чтобы выборы были "демократическими". "Демократическим голосованием" Мирафлорес называет вот что: все избиратели разбиваются на равные группы; каждая из этих групп вновь разбивается на некоторое количество равных групп, причём большие группы могут разбиваться на разное количество меньших групп, затем эти группы снова разбиваются и т.д. В самых мелких группах выбирают представителя группы "<i>выборщика</i>" для голосования в большей группе: выборщики в...
Одна под другой выписаны 2<sup><i>n</i>–1</sup> различных последовательностей из нулей и единиц длины <i>n</i>. Известно, что для любых трёх из выписанных последовательностей найдётся такой номер <i>p</i>, что в <i>p</i>-м разряде у всех трёх стоит 1. Доказать, что в некотором разряде у всех выписанных последовательностей стоит 1 и такой разряд только один.
Из натуральных чисел составляются последовательности, в которых каждое последующее число больше квадрата предыдущего, а последнее число в последовательности равно 1969 (последовательности могут иметь разную длину). Доказать, что различных последовательностей такого вида меньше чем 1969.
Имеется два правильных пятиугольника с одной общей вершиной. Вершины каждого пятиугольника нумеруются по часовой стрелке цифрами от 1 до 5, причём в общей вершине ставится цифра 1. Вершины с одинаковыми номерами соединены прямыми. Доказать, что полученные четыре прямые пересекаются в одной точке.
Существует ли такое число <i>h</i>, что ни для какого натурального числа <i>n</i> число [<i>h</i>·1969<sup><i>n</i></sup>] не делится на [<i>h</i>·1969<sup><i>n</i>–1</sup>]?
Дана бесконечная последовательность чисел <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>, ... Она периодична с периодом 100, то есть <i>a</i><sub>1</sub> = <i>a</i><sub>101</sub>, <i>a</i><sub>2</sub> = <i>a</i><sub>102</sub>, ... Известно, что <i>a</i><sub>1</sub> ≥ 0, <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> ≤ 0, <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + <i>a</i><sub>3</sub> ≥ 0 и вообще, сумма <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + ....
В государстве царя Додона расположено 500 городов, каждый из которых имеет форму правильной 37-угольной звезды, в вершинах которой находятся башни. Додон решил обнести их выпуклой стеной так, чтобы каждый отрезок стены соединял две башни. Доказать, что стена будет состоять не менее чем из 37 отрезков. (Если несколько отрезков лежат на одной прямой, то они считаются за один.)
Можно ли записать в строку 50 чисел так, чтобы сумма любых 17 последовательных чисел была положительна, а сумма любых 10 последовательных чисел была отрицательна?
Остров<i>Толпыго</i>имеет форму многоугольника. На нём расположено несколько стран, каждая из которых имеет форму треугольника, причём каждые две граничащие страны имеют целую общую сторону (т.е. вершина одного треугольника не лежит на стороне другого). Доказать, что карту этого острова можно так раскрасить тремя красками, чтобы каждая страна была закрашена одним цветом и любые две соседние страны были закрашениы в разные цвета.
Дан отрезок <i>AB</i>. Найдите на плоскости множество таких точек <i>C</i>, что медиана треугольника <i>ABC</i>, проведённая из вершины <i>A</i>, равна высоте, проведённой из вершины <i>B</i>.