Олимпиадные задачи из источника «1970 год» для 11 класса
Имеется натуральное число <i>n</i> > 1970. Возьмём остатки от деления числа 2<sup><i>n</i></sup> на 2, 3, 4, ..., <i>n</i>. Доказать, что сумма этих остатков больше 2<i>n</i>.
Около сферы радиуса 10 описан некоторый 19-гранник. Доказать, что на его поверхности найдутся две точки, расстояние между которыми больше 21.
Масса каждой из 19 гирь не больше 70 г и равна целому числу граммов. Доказать, что из этих гирь нельзя составить более 1230 различных по массе наборов.