Олимпиадные задачи из источника «1970 год» для 9 класса - сложность 2 с решениями
Внутри круга радиуса 1 м расположены<i>n</i>точек. Доказать, что в круге или на его границе существует точка, сумма расстояний от которой до всех точек не меньше<i>n</i>метров.
На окружности радиуса 1 отмечено 100 точек. Доказать, что на этой окружности можно найти такую точку, чтобы сумма расстояний от неё до всех отмеченных точек была больше 100.
У числа 2<sup>1970</sup> зачеркнули его первую цифру и прибавили её к оставшемуся числу. С результатом проделали ту же операцию и т.д., до тех пор пока не получили десятизначное число. Доказать, что в этом числе есть две одинаковые цифры.
12 теннисистов участвовали в турнире. Известно, что каждые два теннисиста сыграли между собой ровно один раз и не было ни одного теннисиста, проигравшего все встречи. Доказать, что найдутся такие теннисисты <i>A, B, C</i>, что <i>A</i> выиграл у <i>B, B</i> у <i>C, C</i> у <i>A</i>. (В теннисе ничьих не бывает.)
На каждую чашку весов положили <i>k</i> гирь, занумерованных числами от 1 до <i>k</i>, причём левая чашка перевесила. Оказалось, что если поменять чашками любые две гири с одинаковыми номерами, то всегда либо правая чашка начинает перевешивать, либо чашки приходят в равновесие. При каких <i>k</i> это возможно?
Внутри правильного треугольника<i>ABC</i>лежит точка<i>O</i>. Известно, что$\angle$<i>AOB</i>= 113<sup><tt>o</tt></sup>,$\angle$<i>BOC</i>= 123<sup><tt>o</tt></sup>. Найти углы треугольника, стороны которого равны отрезкам<i>OA</i>,<i>OB</i>,<i>OC</i>.