Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 2 тур» - сложность 2-4 с решениями
8 класс, 2 тур
Назада) Доказать, что сумма цифр числа <i>K</i> не более чем в 8 раз превосходит сумму цифр числа 8<i>K</i>.
б) Для каких натуральных <i>k</i> существует такое положительное число <i>c<sub>k</sub></i>, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78791/problem_78791_img_2.gif"> ≥ <i>c<sub>k</sub></i> для всех натуральных <i>N</i>? Найдите наибольшее подходящее значение <i>c<sub>k</sub></i>.
Дано 29-значное число <i>X</i> = <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i><sub>1</sub>...<i>a</i><sub>29</sub></span> (0 ≤ <i>a<sub>k</sub></i> ≤ 9, <i>a</i><sub>1</sub> ≠ 0). Известно, что для всякого <i>k</i> цифра <i>a<sub>k</sub></i> встречается в записи данного числа <i>a</i><sub>30–<i>k</i></sub> раз (например, если <i>a</i><sub>10</sub> = 7, то цифра <i>a</i><sub>20</sub> встречается семь раз). Найти сумму цифр числа <i>X</i>.
Внутри квадрата <!-- MATH $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$ --> <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>4</sub> взята точка <i>P</i>. Из вершины <i>A</i><sub>1</sub> опущен перпендикуляр на <i>A</i><sub>2</sub><i>P</i>, из <i>A</i><sub>2</sub> — перпендикуляр на <i>A</i><sub>3</sub><i>P</i>, из <i>A</i><sub>3</sub> — на <i>A</i><sub>4</sub><i>P</i>, из <i>A</i><sub>4</sub> — на <i>A</i><sub>1</sub><i>P</i>. Докажите...