Олимпиадные задачи из источника «1974 год» - сложность 1-2 с решениями

На конгресс собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что каждые два из них, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Доказать, что найдётся учёный, который имеет ровно одного друга из числа участников конгресса.

Доказать, что в десятичной записи чисел  2^<i>n</i> + 1974^<i>n</i> и 1974^<i>n</i>  содержится одинаковое количество цифр.

Дан треугольник<i>ABC</i>,<i>AD</i>и<i>BE</i>— его биссектрисы. Известно, что<i>AC</i>><i>BC</i>. Доказать, что<i>AE</i>><i>DE</i>><i>BD</i>.

Доказать, что в произвольном выпуклом 2<i>n</i>-угольнике найдётся диагональ, не параллельная ни одной из его сторон.

В клетках прямоугольной таблицы 8×5 расставлены натуральные числа. За один ход разрешается одновременно удвоить все числа одной строки или же вычесть единицу из всех чисел одного столбца. Доказать, что за несколько ходов можно добиться того, чтобы все числа таблицы стали равными нулю.

На прямой расположено 100 точек. Отметим середины всевозможных отрезков с концами в этих точках. Какое наименьшее число отмеченных точек может получиться?

На кубе отмечены вершины и центры граней, а также проведены диагонали всех граней. Можно ли по отрезкам этих диагоналей обойти все отмеченные точки, побывав в каждой из них ровно по одному разу?

Из отрезков, имеющих длины<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>, можно составить треугольник. Доказать, что из отрезков с длинами${\frac{1}{a+c}}$,${\frac{1}{b+c}}$,${\frac{1}{a+b}}$также можно составить треугольник.

Доказать, что в круг радиуса 1 нельзя поместить без наложений два треугольника, площадь каждого из которых больше 1.

Доказать, что число 100...001, в котором  2¹⁹⁷⁴ + 2¹⁰⁰⁰ – 1  нулей, составное.