Олимпиадные задачи из источника «1977 год» для 11 класса - сложность 2 с решениями
Последовательность натуральных чисел {<i>x<sub>n</sub></i>} строится по следующему правилу: <i>x</i><sub>1</sub> = 2, ..., <i>x<sub>n</sub></i> = [1,5<i>x</i><sub><i>n</i>–1</sub>].
Доказать, что последовательность <i>y<sub>n</sub></i> = (–1)<i><sup>x<sub>n</sub></sup></i> непериодическая.
Можно ли на плоскости расположить бесконечное множество одинаковых кругов так, чтобы любая прямая пересекала не более двух кругов?
В пространстве расположен выпуклый многогранник, все вершины которого находятся в целых точках. Других целых точек внутри, на гранях и на рёбрах нет. (Целой называется точка, все три координаты которой – целые числа.) Доказать, что число вершин многогранника не превосходит восьми.
В пространстве расположено<i>n</i>отрезков, никакие три из которых не параллельны одной плоскости. Для любых двух отрезков прямая, соединяющая их середины, перпендикулярна обоим отрезкам. При каком наибольшем<i>n</i>это возможно?
Последовательность натуральных чисел {<i>x<sub>n</sub></i>} строится по следующему правилу: <i>x</i><sub>1</sub> = 2, <i>x</i><sub><i>n</i>+1</sub> = [1,5<i>x<sub>n</sub></i>]. Доказать, что в последовательности {<i>x<sub>n</sub></i>} бесконечно много
а) нечётных чисел;
б) чётных чисел.