Олимпиадные задачи из источника «1977 год» для 9 класса - сложность 3 с решениями

Существуют ли  а) 6,  б)15,  в) 1000 таких различных натуральных чисел, что для любых двух <i>a</i> и <i>b</i> из них сумма  <i>a + b</i>  делится на разность  <i>a − b</i>?

В волейбольном турнире каждые две команды сыграли по одному матчу.

  а) Докажите, что если для каждых двух команд найдётся третья, которая выиграла у этих двух, то число команд не меньше семи.

  б) Постройте пример такого турнира семи команд.

  в) Докажите, что если для любых трёх команд найдётся такая, которая выиграла у этих трёх, то число команд не меньше 15.

Найти наименьшее<i>n</i>такое, что любой выпуклый 100-угольник можно получить в виде пересечения<i>n</i>треугольников. Докажите, что для меньших<i>n</i>это можно сделать не с любым выпуклым 100-угольником.