Олимпиадные задачи из источника «10 класс»

За круглым столом сидят <i>n</i> человек. Разрешается любых двух людей, сидящих рядом, поменять местами. Какое наименьшее число таких перестановок необходимо сделать, чтобы в результате каждые два соседа остались бы соседями, но сидели бы в обратном порядке?

Радиус вписанной в треугольник окружности равен${\frac{4}{3}}$, а длины высот треугольника — целые числа, сумма которых равна 13. Вычислить длины сторон треугольника.

В квадрате со стороной длины 1 расположена ломаная без самопересечений, длина которой не меньше 200. Доказать, что найдётся прямая, параллельная одной из сторон квадрата, пересекающая ломаную не менее чем в 101-й точке.

Доказать, что последовательность<i>x</i>_n= sin(<i>n</i>²) не стремится к нулю при<i>n</i>, стремящемся к бесконечности.

Дан многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> со старшим коэффициентом, равным 1. Известно, что если <i>x</i> – целое число, то <i>P</i>(<i>x</i>) – целое число, кратное <i>p</i>

(<i>p</i> – натуральное число). Доказать, что <i>n</i>! делится на <i>p</i>.

Рассматривается функция<i>y</i>=<i>f</i>(<i>x</i>), определённая на всём множестве действительных чисел и удовлетворяющая для некоторого числа<i>k</i>≠ 0 соотношению<i>f</i>(<i>x</i>+<i>k</i>)^.(1 −<i>f</i>(<i>x</i>)) = 1 +<i>f</i>(<i>x</i>). Доказать, что<i>f</i>(<i>x</i>) — периодическая функция.