Олимпиадные задачи из источника «1985 год» для 10 класса - сложность 3-4 с решениями
Даны 1985 множеств, каждое из которых состоит из 45 элементов, причём объединение любых двух множеств содержит ровно 89 элементов.
Сколько элементов содержит объединение всех этих 1985 множеств?
Доказать, что любое число 2<sup><i>n</i></sup>, где <i>n</i> = 3, 4, 5, ... можно представить в виде 7<i>x</i>² + <i>y</i>², где <i>x</i> и <i>y</i> – нечётные числа.
Доказать, что в любой группе из 12 человек можно выбрать двоих, а среди оставшихся 10 человек еще пятерых так, чтобы каждый из этих пятерых удовлетворял следующему условию: либо он дружит с обоими выбранными вначале, либо не дружит ни с одним из них.
В некоторой стране 1985 аэродромов. С каждого из них вылетел самолёт и приземлился на самом удалённом от места старта аэродроме. Могло ли случиться, что в результате все 1985 самолётов оказались на 50 аэродромах? (Землю можно считать плоской, а маршруты прямыми; попарные расстояния между аэродромами предполагаются различными.)