Олимпиадные задачи из источника «10 класс»

Доказать, что если расстояния между скрещивающимися рёбрами тетраэдра равны<i>h</i>₁,<i>h</i>₂,<i>h</i>₃, то объём тетраэдра не меньше, чем<i>h</i>₁<i>h</i>₂<i>h</i>₃/3.

Даны 1985 множеств, каждое из которых состоит из 45 элементов, причём объединение любых двух множеств содержит ровно 89 элементов.

Сколько элементов содержит объединение всех этих 1985 множеств?

Назовём "сложностью" данного числа наименьшую длину числовой последовательности (если такая найдётся), которая начинается с нуля и заканчивается этим числом, причём каждый следующий член последовательности либо равен половине предыдущего, либо в сумме с предыдущим составляет 1. Среди всех чисел вида<i>m</i>/2⁵⁰, где<i>m</i>= 1, 3, 5,..., 2⁵⁰− 1, найти число с наибольшей "сложностью".

Решить уравнение   <img align="middle" src="/storage/problem-media/79481/problem_79481_img_2.gif">

Длины<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>четырёх отрезков удовлетворяют неравенствам 0 <<i>a</i>≤<i>b</i>≤<i>c</i><<i>d</i>, <i>d</i><<i>a</i>+<i>b</i>+<i>c</i>. Можно ли из этих отрезков сложить трапецию?