Олимпиадные задачи из источника «1985 год»
Доказать, что если расстояния между скрещивающимися рёбрами тетраэдра равны<i>h</i><sub>1</sub>,<i>h</i><sub>2</sub>,<i>h</i><sub>3</sub>, то объём тетраэдра не меньше, чем<i>h</i><sub>1</sub><i>h</i><sub>2</sub><i>h</i><sub>3</sub>/3.
Даны 1985 множеств, каждое из которых состоит из 45 элементов, причём объединение любых двух множеств содержит ровно 89 элементов.
Сколько элементов содержит объединение всех этих 1985 множеств?
Назовём "сложностью" данного числа наименьшую длину числовой последовательности (если такая найдётся), которая начинается с нуля и заканчивается этим числом, причём каждый следующий член последовательности либо равен половине предыдущего, либо в сумме с предыдущим составляет 1. Среди всех чисел вида<i>m</i>/2<sup>50</sup>, где<i>m</i>= 1, 3, 5,..., 2<sup>50</sup>− 1, найти число с наибольшей "сложностью".
Решить уравнение <img align="middle" src="/storage/problem-media/79481/problem_79481_img_2.gif">
Доказать, что любое число 2<sup><i>n</i></sup>, где <i>n</i> = 3, 4, 5, ... можно представить в виде 7<i>x</i>² + <i>y</i>², где <i>x</i> и <i>y</i> – нечётные числа.
Доказать, что в любой группе из 12 человек можно выбрать двоих, а среди оставшихся 10 человек еще пятерых так, чтобы каждый из этих пятерых удовлетворял следующему условию: либо он дружит с обоими выбранными вначале, либо не дружит ни с одним из них.
В некоторой стране 1985 аэродромов. С каждого из них вылетел самолёт и приземлился на самом удалённом от места старта аэродроме. Могло ли случиться, что в результате все 1985 самолётов оказались на 50 аэродромах? (Землю можно считать плоской, а маршруты прямыми; попарные расстояния между аэродромами предполагаются различными.)
Найти все значения <i>x, y</i> и <i>z</i>, удовлетворяющие равенству $\sqrt{x-y+z} = \sqrt{x} - \sqrt{y} + \sqrt{z}$.
За дядькой Черномором выстроилось чередой бесконечное число богатырей. Доказать, что он может приказать части из них выйти из строя так, чтобы в строю осталось бесконечно много богатырей и все они стояли по росту (не обязательно в порядке убывания роста).
Числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>1985</sub> представляют собой переставленные в некотором порядке числа 1, 2, ..., 1985. Каждое число <i>a<sub>k</sub></i> умножается на его номер <i>k</i>, а затем среди полученных 1985 произведений выбирается наибольшее. Доказать, что оно не меньше, чем 993².
Найти все значения <i>x, y</i> и <i>z</i>, удовлетворяющие равенству (<i>x − y + z</i>)² = <i>x</i>² − <i>y</i>² + <i>z</i>².
В магазин привезли цистерну молока. У продавца имеются чашечные весы без гирь (на чашки весов можно ставить фляги), а также три одинаковые фляги, две из которых пустые, а в третьей налит 1 л молока. Как отлить в одну флягу ровно 85 л молока, сделав не более восьми взвешиваний?
В центре квадрата сидит заяц, а в каждом из четырёх углов по одному волку. Может ли заяц выбежать из квадрата, если волки могут бегать только по сторонам квадрата с максимальной скоростью в 1,4 раза большей, чем максимальная скорость зайца?
Длины<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>четырёх отрезков удовлетворяют неравенствам 0 <<i>a</i>≤<i>b</i>≤<i>c</i><<i>d</i>, <i>d</i><<i>a</i>+<i>b</i>+<i>c</i>. Можно ли из этих отрезков сложить трапецию?
Даны пять различных положительных чисел, которые можно разбить на две группы так, чтобы суммы чисел в этих группах были одинаковыми. Сколькими способами это можно сделать?
Найти все значения <i>x</i> и <i>y</i>, удовлетворяющие равенству <i>xy</i> + 1 = <i>x + y</i>.