Олимпиадные задачи из источника «1985 год» для 4-9 класса - сложность 2 с решениями
Найти все значения <i>x, y</i> и <i>z</i>, удовлетворяющие равенству $\sqrt{x-y+z} = \sqrt{x} - \sqrt{y} + \sqrt{z}$.
Числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>1985</sub> представляют собой переставленные в некотором порядке числа 1, 2, ..., 1985. Каждое число <i>a<sub>k</sub></i> умножается на его номер <i>k</i>, а затем среди полученных 1985 произведений выбирается наибольшее. Доказать, что оно не меньше, чем 993².
Найти все значения <i>x, y</i> и <i>z</i>, удовлетворяющие равенству (<i>x − y + z</i>)² = <i>x</i>² − <i>y</i>² + <i>z</i>².
Длины<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>четырёх отрезков удовлетворяют неравенствам 0 <<i>a</i>≤<i>b</i>≤<i>c</i><<i>d</i>, <i>d</i><<i>a</i>+<i>b</i>+<i>c</i>. Можно ли из этих отрезков сложить трапецию?
Даны пять различных положительных чисел, которые можно разбить на две группы так, чтобы суммы чисел в этих группах были одинаковыми. Сколькими способами это можно сделать?