Олимпиадные задачи из источника «1986 год» для 10-11 класса - сложность 3 с решениями
Биссектриса угла<i>A</i>треугольника<i>ABC</i>продолжена до пересечения в<i>D</i>с описанной вокруг него окружностью. Докажите, что<i>AD</i> > 1/2 (<i>AB</i> + <i>AC</i>).
На листе бумаги отмечены точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>. Распознающее устройство может абсолютно точно выполнять два типа операций: а) измерять в сантиметрах расстояние между двумя заданными точками; б) сравнивать два заданных числа. Какое наименьшее число операций нужно выполнить этому устройству, чтобы наверняка определить, является ли четырёхугольник<i>ABCD</i>квадратом?
Произведение некоторых 48 натуральных чисел имеет ровно 10 различных простых делителей.
Докажите, что произведение некоторых четырёх из этих чисел является квадратом натурального числа.
Решите систему неравенств
|<i>x</i>| < |<i>y – z + t</i>|,
|<i>y</i>| < |<i>x – z + t</i>|,
|<i>z</i>| < |<i>x – y + t</i>|,
|<i>t</i>| < |<i>x – y + z</i>|.
На листе бумаги отмечены точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>. Распознающее устройство может абсолютно точно выполнять два типа операций: а) измерять в сантиметрах расстояние между двумя заданными точками; б) сравнивать два заданных числа. Какое наименьшее число операций нужно выполнить этому устройству, чтобы наверняка определить, является ли четырёхугольник<i>ABCD</i>прямоугольником?
Докажите, что система неравенств
|<i>x</i>| > |<i>y – z + t</i>|,
|<i>y</i>| > |<i>x – z + t</i>|,
|<i>z</i>| > |<i>x – y + t</i>|,
|<i>t</i>| > |<i>x – y + z</i>|
не имеет решений.
Квадратное поле разбито на 100 одинаковых участков, 9 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за год распространяется на те и только те участки, у каждого из которых не менее двух соседних участков уже поражены бурьяном (участки соседние, если они имеют общую сторону). Докажите, что полностью все поле бурьяном не зарастёт.
Докажите, что если <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/79492/problem_79492_img_2.gif"> при <i>n</i> = 2, ..., 10, то <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/79492/problem_79492_img_3.gif">
Произведение некоторых 1986 натуральных чисел имеет ровно 1985 различных простых делителей.
Доказать, что либо одно из этих чисел, либо произведение нескольких из них является квадратом натурального числа.