Олимпиадные задачи из источника «1986 год» - сложность 1-2 с решениями
Докажите, что ни для каких векторов<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>не могут одновременно выполняться три неравенства<div align="CENTER"> <img align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79503/problem_79503_img_2.gif">|<i>a</i>| < |<i>b</i> − <i>c</i>|, <img align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79503/problem_79503_img_2.gif">|<i>b</i>| < |<i>c</i> − <i>a</i>|, <img align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79503/problem_79503_img_2.gif">|<i>c</i>| < |<i>a</i> − <i>b</i>|. </div>...
Решите уравнение<i>x</i><sup>x<sup>4</sup></sup>= 4 (<i>x</i>> 0).
Из точки<i>M</i>по плоскости с постоянной скоростью ползёт муравей. Его путь представляет собой спираль, которая наматывается на точку<i>O</i>и гомотетична некоторой своей части относительно этой точки. Сможет ли муравей пройти весь свой путь за конечное время?
Найдите все натуральные числа, не представимые в виде разности квадратов каких-либо натуральных чисел.
На листе прозрачной бумаги нарисован четырёхугольник. Укажите способ, как сложить этот лист (возможно, в несколько раз), чтобы определить, является ли исходный четырёхугольник квадратом.
Три гнома живут в разных домах на плоскости и ходят со скоростями 1, 2 и 3 км/ч соответственно. Какое место для ежедневных встреч нужно им выбрать, чтобы сумма времён, необходимых каждому из гномов на путь от своего дома до этого места (по прямой), была наименьшей?
Докажите, что ни для каких чисел <i>x, y, t</i> не могут одновременно выполняться три неравенства: |<i>x| < |y − t|, |y| < |t − x|, |t| < |x − y</i>|.
На листе прозрачной бумаги нарисован четырёхугольник. Укажите способ, как сложить этот лист (возможно, в несколько раз), чтобы определить, является ли исходный четырёхугольник ромбом.