Олимпиадные задачи из источника «1992 год» для 10 класса - сложность 2-4 с решениями
Прибор для сравнения чисел log<i><sub>a</sub>b</i> и log<i><sub>c</sub>d</i> (<i>a, b, c, d</i> > 1) работает по правилам: если <i>b > a</i> и <i>d > c</i>, то он переходит к сравнению чисел log<i><sub>a</sub><sup>b</sup></i>/<sub><i>a</i></sub> и log<i><sub>c</sub><sup>d</sup></i>/<sub><i>c</i></sub> если <i>b < a</i> и <i>d < c</i>, то он переходит к сравнению чисел log<i><sub>d</sub>c</i> и log<i><sub>b</sub>a</i>; если (<i>b − a</i>)(<i>d − c</i>) ≤ 0, т...
Внутри тетраэдра расположен треугольник, проекции которого на 4 грани тетраэдра имеют площади<i>P</i><sub>1</sub>,<i>P</i><sub>2</sub>,<i>P</i><sub>3</sub>,<i>P</i><sub>4</sub>. Докажите, что а) в правильном тетраэдре<i>P</i><sub>1</sub>≤<i>P</i><sub>2</sub>+<i>P</i><sub>3</sub>+<i>P</i><sub>4</sub>; б) если<i>S</i><sub>1</sub>,<i>S</i><sub>2</sub>,<i>S</i><sub>3</sub>,<i>S</i><sub>4</sub>— площади соответствующих граней тетраэдра, то<i>P</i><sub>1</sub><i>S</i><sub>...
Аладдин побывал во всех точках экватора, двигаясь то на восток, то на запад, а иногда мгновенно перемещаясь в диаметрально противоположную точку Земли. Докажите, что был отрезок времени, за которое разность расстояний, пройденных Аладдином на восток и на запад, не меньше половины длины экватора.
Найдите углы выпуклого четырёхугольника<i>ABCD</i>, в котором$\angle$<i>BAC</i>= 30<sup><tt>o</tt></sup>,$\angle$<i>ACD</i>= 40<sup><tt>o</tt></sup>,$\angle$<i>ADB</i>= 50<sup><tt>o</tt></sup>,$\angle$<i>CBD</i>= 60<sup><tt>o</tt></sup>и$\angle$<i>ABC</i> + $\angle$<i>ADC</i> = 180<sup><tt>o</tt></sup>.
Каждая грань выпуклого многогранника – многоугольник с чётным числом сторон.
Обязательно ли его рёбра можно раскрасить в два цвета так, чтобы у каждой грани было поровну рёбер разных цветов?
Докажите, что в выпуклый центрально-симметричный многоугольник можно поместить ромб вдвое меньшей площади.
Каково наименьшее число гирь в наборе, который можно разложить и на 4, и на 5, и на 6 кучек равной массы?
От пирога, имеющего форму выпуклого пятиугольника, можно отрезать треугольный кусок по линии, пересекающей в точках, отличных от вершин, две соседние стороны; от оставшейся части пирога — следующий кусок (таким же образом) и т.д. В какие точки пирога можно воткнуть свечку, чтобы её нельзя было отрезать?
Докажите, что если сумма косинусов углов четырёхугольника равна нулю, то он — параллелограмм, трапеция или вписанный четырёхугольник.
Каких нечётных натуральных чисел <i>n</i> < 10000 больше: тех, для которых число, образованное четырьмя последними цифрами числа <i>n</i><sup>9</sup>, больше <i>n</i>, или тех, для которых оно меньше <i>n</i>?