Олимпиадные задачи из источника «8 класс» для 2-9 класса - сложность 2-3 с решениями

Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i> и точка <i>O</i> внутри него. Известно, что  ∠<i>AOB</i> = ∠<i>COD</i> = 120°,  <i>AO = OB</i>  и  <i>CO = OD</i>.  Пусть <i>K, L</i> и <i>M</i> – середины отрезков <i>AB, BC</i> и <i>CD</i> соответственно. Докажите, что

  а)  <i>KL = LM</i>;

  б) треугольник <i>KLM</i> – правильный.

Прямая отсекает треугольник <i>AKN</i> от правильного шестиугольника <i>ABCDEF</i> так, что  <i>AK + AN = AB</i>.

Найдите сумму углов, под которыми отрезок <i>KN</i> виден из вершин шестиугольника  (∠<i>KAN</i> + ∠<i>KBN</i> + ∠<i>KCN</i> + ∠<i>KDN</i> + ∠<i>KEN</i> + ∠<i>KFN</i>).

Несколько населённых пунктов соединены дорогами с городом, а между ними дорог нет. Автомобиль отправляется из города с грузами сразу для всех населённых пунктов. Стоимость каждой поездки равна произведению веса всех грузов в кузове на расстояние. Докажите, что если вес каждого груза численно равен расстоянию от города до пункта назначения, то общая стоимость перевозки не зависит от порядка, в котором объезжаются пункты.

Достаточно ли для изготовления закрытой со всех сторон прямоугольной коробки, вмещающей не менее 1995 единичных кубиков,

  а) 962;   б) 960;   в) 958 квадратных единиц материала?

Докажите, что все числа 10017, 100117, 1001117, ... делятся на 53.

М.В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас.

Хватит ли той же денежки хотя бы на квас, если цены еще раз вырастут на 20%?