Олимпиадные задачи из источника «1996 год» для 10 класса - сложность 3 с решениями

Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных чисел <i>n</i>, что число <i>n</i> представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, а числа  <i>n</i> – 1  и  <i>n</i> + 1  – нет.

Найдите какой-нибудь многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число  <img width="70" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/107816/problem_107816_img_2.gif"> + <img width="70" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/107816/problem_107816_img_3.gif">.

Докажите, что для любого многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> с натуральными коэффициентами найдется такое целое число <i>k</i>, что числа  <i>P</i>(<i>k</i>),  <i>P</i>(<i>k</i> + 1),  ...,

<i>P</i>(<i>k</i> + 1996)  будут составными, если

  а)  <i>n</i> = 1;

  б)  <i>n</i> – произвольное натуральное число.

  В стране, дома жителей которой представляют собой точки плоскости, действуют два закона:

    1. Человек может играть в баскетбол, лишь если он выше ростом большинства своих соседей.

    2. Человек имеет право на бесплатный проезд в транспорте, лишь если он ниже ростом большинства своих соседей.

  В каждом законе соседями человека считаются все люди, живущие в круге некоторого радиуса с центром в доме этого человека. При этом каждый человек сам выбирает себе радиус для первого закона и радиус (не обязательно такой же) для второго закона. Может ли в этой стране не менее 90% людей играть в баскетбол и не менее 90% людей иметь право на бесплатный проезд в транспорте?

В углу шахматной доски размером <i>m×n</i> полей стоит ладья. Двое по очереди передвигают её по вертикали или по горизонтали на любое число полей; при этом не разрешается, чтобы ладья стала на поле или прошла через поле, на котором она уже побывала (или через которое уже проходила). Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто из играющих может обеспечить себе победу: начинающий или его партнер, и как ему следует играть?

Целые числа от 1 до <i>n</i> записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Может ли случиться так, что сумма каждого числа и записанного под ним есть точный квадрат  а) при  <i>n</i> = 9,   б) при  <i>n</i> = 11,   в) при  <i>n</i> = 1996.