Олимпиадные задачи из источника «9 класс» для 3-9 класса - сложность 2-3 с решениями

Точка<i> O </i>лежит внутри ромба<i> ABCD </i>. Угол<i> DAB </i>равен110<i>^o </i>. Углы<i> AOD </i>и<i> BOC </i>равны80<i>^o </i>и100<i>^o </i>соответственно. Чему может быть равен угол<i> AOB </i>?

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> провели высоты <i>AD</i> и <i>CE</i>. Построили квадрат <i>ACPQ</i> и прямоугольники <i>CDMN</i> и <i>AEKL</i>, у которых  <i>AL = AB</i>  и

<i>CN = CB</i>.  Докажите, что площадь квадрата <i>ACPQ</i> равна сумме площадей прямоугольников <i>AEKL</i> и <i>CDMN</i>.

В стране Нашии есть военные базы, соединённые дорогами. Набор дорог называется <i>важным</i>, если после закрытия этих дорог найдутся две базы, не соединённые путем. Важный набор называется <i>стратегическим</i>, если он не содержит меньшего важного набора. Докажите, что множество дорог, каждая из которых принадлежит ровно одному из двух различных стратегических наборов, образует важный набор.

Путешественник посетил деревню, в котором каждый человек либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Жители деревни стали в круг, и каждый сказал путешественнику про соседа справа, правдив ли он. На основании этих сообщений путешественник смог однозначно определить, какую долю от всех жителей деревни составляют лжецы. Определите и вы, чему она равна.

Является ли число  4⁹ + 6¹⁰ + 3²⁰  простым?