Олимпиадные задачи из источника «11 класс» - сложность 4-5 с решениями

Докажите, что первые цифры чисел вида 2^2ⁿ образуют непериодическую последовательность.

Решите в натуральных числах уравнение  (1 + <i>n^k</i>)^<i>l</i> = 1 + <i>n^m</i>,  где  <i>l</i> > 1.

На лугу, имеющем форму квадрата, имеется круглая лунка. По лугу прыгает кузнечик. Перед каждым прыжком он выбирает вершину и прыгает по направлению к ней. Длина прыжка равна половине расстояния до этой вершины.

Сможет ли кузнечик попасть в лунку?

Грани правильного октаэдра раскрашены в белый и черный цвет. При этом любые две грани, имеющие общее ребро, покрашены в разные цвета.

Докажите, что для любой точки внутри октаэдра сумма расстояний до плоскостей белых граней равна сумме расстояний до плоскостей черных граней.