Олимпиадные задачи из источника «1999 год» для 8 класса - сложность 3-5 с решениями
Плоская выпуклая фигура ограничена отрезками<i> AB </i>и<i> AD </i>и дугой<i> BD </i>некоторой окружности (рис.1). Постройте какую-нибудь прямую, которая делит пополам: а) периметр этой фигуры; б) её площадь.
Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> (<i>AB > BC</i>) касается сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно, <i>RS</i> – средняя линия, параллельная стороне <i>AB</i>, <i>T</i> – точка пересечения прямых <i>PQ</i> и <i>RS</i>. Докажите, что точка <i>T</i> лежит на биссектрисе угла <i>B</i> треугольника <i>ABC</i>.
В прямоугольном треугольнике<i> ABC </i>точка<i> O </i>– середина гипотенузы<i> AC </i>. На отрезке<i> AB </i>взята точка<i> M </i>, а на отрезке<i> BC </i>– точка<i> N </i>, причём угол<i> MON </i>– прямой. Докажите, что<i> AM</i>2<i>+CN</i>2<i> = MN</i>2.
Раскраска вершин графа называется <i>правильной</i>, если вершины одного цвета не соединены ребром. Некоторый граф правильно раскрашен в <i>k</i> цветов, причём его нельзя правильно раскрасить в меньшее число цветов. Докажите, что в этом графе существует путь, вдоль которого встречаются вершины всех <i>k</i> цветов ровно по одному разу.
В соревнованиях по <i>n</i>-борью участвуют 2<sup><i>n</i></sup> человек. Для каждого спортсмена известна его сила в каждом из видов программы. Соревнования проходят следующим образом: сначала все спортсмены участвуют в первом виде программы и лучшая половина из них выходит в следующий круг. Эта половина принимает участие в следующем виде и половина из них выходит в следующий круг, и т.д., пока в <i>n</i>-м виде программы не будет определен победитель. Назовем спортсмена <i>возможным победителем</i>, если можно так расставить виды спорта в программе, что он станет победителем.
а) Докажите, что может так случиться, что хотя бы половина спортсменов является возможными победителями.
б) Докажите, что число возможных по...
Найдите все такие целые положительные k, что число
1...12...2-2...2 является квадратом целого числа. (В первом слагаемом (уменьшаемом) всего 2000 цифр, из которых на последних местах стоят цифры "2" в количестве k штук, а остальные цифры - "1"; второе слагаемое (вычитаемое) состоит из 1001 поряд стоящих цифр "2")
2<i>n</i> радиусов разделили круг на 2<i>n</i> равных секторов: <i>n</i> синих и <i>n</i> красных, чередующихся в произвольном порядке. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до <i>n</i>. В красные сектора, начиная с некоторого, записывают те же числа, но по ходу часовой стрелки. Докажите, что найдётся полукруг, в котором записаны все числа от 1 до <i>n</i>.