Олимпиадные задачи из источника «2000 год» для 7 класса - сложность 2-3 с решениями

Наибольший общий делитель натуральных чисел <i>m</i> и <i>n</i> равен 1. Каково наибольшее возможное значение  НОД(<i>m</i> + 2000<i>n</i>, <i>n</i> + 2000<i>m</i>)?

Гриша записал в клетки шахматной доски числа 1, 2, 3, ..., 63, 64 в некотором порядке. Он сообщил Лёше только сумму чисел в каждом прямоугольнике из двух клеток и добавил, что 1 и 64 лежат на одной диагонали. Докажите, что по этой информации Лёша может точно определить, в какой клетке какое число записано.

В строку выписано 23 натуральных числа (не обязательно различных). Докажите, что между ними можно так расставить скобки, знаки сложения и умножения, что значение полученного выражения будет делиться на 2000 нацело.

Решите уравнение  (<i>x</i> + 1)⁶³ + (<i>x</i> + 1)⁶²(<i>x</i> – 1) + (<i>x</i> + 1)⁶¹(<i>x</i> – 1)² + ... + (<i>x</i> – 1)⁶³ = 0.

Какое наибольшее число коней можно расставить на доске 5×5 клеток так, чтобы каждый из них бил ровно двух других?

Длины оснований трапеции равны <i>m</i> см и <i>n</i> см (<i>m</i> и <i>n</i> – натуральные числа,  <i>m ≠ n</i>).  Докажите, что трапецию можно разрезать на равные треугольники.

В выборах в 100-местный парламент участвовали 12 партий. В парламент проходят партии, за которые проголосовало строго больше 5% избирателей. Между прошедшими в парламент партиями места распределяются пропорционально числу набранных ими голосов. После выборов оказалось, что каждый избиратель проголосовал ровно за одну из партий (недействительных бюллетеней, голосов "против всех" и т. п. не было) и каждая партия получила целое число мест. При этом Партия любителей математики набрала 25% голосов. Какое наибольшее число мест в парламенте она могла получить?