Олимпиадные задачи из источника «11 класс» - сложность 3 с решениями

В таблице размера <i>n×n</i> клеток: две противоположные угловые клетки – чёрные, а остальные – белые. Какое наименьшее количество белых клеток достаточно перекрасить в чёрный цвет, чтобы после этого с помощью преобразований, состоящих в перекрашивании всех клеток какого-либо столбца или какой-либо строки в противоположный цвет, можно было сделать чёрными все клетки таблицы?

В основании <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A_n</i> пирамиды <i>SA</i>₁<i>A</i>₂...<i>A_n</i> лежит точка <i>O</i>, причём  <i>SA</i>₁ = <i>SA</i>₂ = ... = <i>SA_n</i>  и  ∠<i>SA</i>₁<i>O</i> =  ∠<i>SA</i>₂<i>O</i> = ... = ∠<i>SA_nO</i>.

При каком наименьшем значении <i>n</i> отсюда следует, что <i>SO</i> – высота пирамиды?

Каким может быть произведение нескольких различных простых чисел, если оно кратно каждому из них, уменьшенному на 1?

Найдите все возможные значения этого произведения.

Значение <i>a</i> подобрано так, что число корней первого из уравнений  4^<i>x</i> – 4^–<i>x</i> = 2 cos <i>ax</i>,  4^<i>x</i> + 4^–<i>x</i> = 2 cos <i>ax</i> + 4  равно 2007.

Сколько корней при том же <i>a</i> имеет второе уравнение?